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(3)の力学的エネルギー保存の先がよくわかりません(バネによるエネルギーの所)

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とりあえず(3)の回答を詳し目に記述することにします。以下解答です。


小球にかかる垂直抗力は

N=mg(1xd)N=mg(1-\frac{x}{d})

∴小球と板が離れるとき、垂直抗力は0なのでx=dx=dとなる。

さらに、仮定よりαdxαd-\alpha d\leq x \leq \alpha dであるため、x=dx=dが実現するにはα>1\alpha>1が必要である。

さて、速さを求めていく。板と小球が離れる瞬間はどちらも同じ速さを持つ。

位置エネルギーが0である点をx=0x=0とする。最も低い位置の座標がαd-\alpha d、小球と板が離れる座標がddであることに考慮してエネルギー保存則を立式すれば

3mgαd+12k(α+1)d2=32mv2+3mgd-3mg\alpha d+\frac{1}{2} k{(\alpha+1)d}^2=\frac{3}{2}mv^2+3mgd

となる。ここで、ばねの自然長はx=dx=dのときであるため、最も低い座標ではばねが(α+1)d(\alpha +1)d縮んでいることに注意。あとはこれを解けばよく、

v=(α21)gdv=\sqrt{(\alpha^2-1)gd}

ここで

k=3mgdk=\frac{3mg}{d}

を代入した。

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