偏角$\arg z$は、グラフを描かずに求められますか？もしそうであったら、$θ$を$\arg z$の式で表してください。

あと、そもそも$\theta=\arg z$です。

$z=r(a\cos θ+b\sin θ) (r=|z|)$での$θ$のことですが、これは方程式のように解けるのですか？

それは極形式です。あと、その形式なら書くのは$z=r(\cos\theta +i\sin\theta)$です。

複素数$z$を$(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$で$z=x+iy$の形に式変形すればいいだけです。

複素数の極形式

https://hiraocafe.com/note/complex-polar-form.html

そもそも、その$z$は一般形のことであって、関数などではありません。

例えば有理数において代表元を$\dfrac{m}{n}(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N})$と表すようなものです。

実際には複素数$z=4+3i$などのようになります。

実数が数直線上で点を取れるように、複素数$z$は複素平面上で点$P$を取ります。

このとき、実軸$x\geq0$と線分$OP$とのなす角を$\theta$とできて、これを偏角$\arg z$と書きます。

数式だけを追うのではなく、定義を言葉でしっかりと確認しましょう。