a=(ax,ay),vecb=(bx,by)とします。
a=OA,b=OBとなる点O,A,Bをとると、
に余弦定理を適用出来て、
AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cos∠AOB
が成り立ちます。これにa,bを代入すれば、
∣b−a∣2=∣a∣2+∣b∣2−2⋅∣a∣⋅∣b∣⋅cos∠AOB(1)
ここで、a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos∠AOBなので、式(1)は
∣b−a∣2=∣a∣2+∣b∣2−2⋅a⋅b(2)
となります。
それでは成分で計算していきましょう。
∣a∣2=ax2+ay2,∣b∣2=bx2+by2,∣b−a∣2=(bx−ax)2+(by−ax)2ですから、式(2)に代入して
(bx−ax)2+(by−ax)2=(ax2+ay2)+(bx2+by2)−2⋅a⋅b
式を変形して、
2⋅a⋅b=(ax2+ay2)+(bx2+by2)−{(bx−ax)2+(by−ax)2}
右辺を計算して、
2⋅a⋅b=2(ax⋅bx)+2(ay⋅by)
両辺2で割って
a⋅b=ax⋅bx+ay⋅by
となります。
どうでしょうか。