$\omega^3=1$というものがありますが、$\omega$は1じゃないらしいです。なぜでしょう。

$\omega$の定義が違います。

$1$の3乗根を得るために

$$x^3=1$$

を考えます。

因数分解できるので

$$(x-1)(x^2+x+1)=0$$

です。

よって、$x$の3乗根は

$$x=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$$

です。このとき、

$$\left(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{-1\mp\sqrt{3}i}{2}\right)$$

となるので、$1$でない根のうち1つを$\omega$とおけば$x$の3乗根は$1,\omega,\omega^2$となります。

この定義から$\omega^3=1$が満たされるので、当然$\omega\neq1$です。