1枚目の下から2枚目の上にかけての変形が分かりません教えて下さい。

解説のとおり、

$x=\sin^2 (\dfrac{180°+B}{3})+\sin^2 (\dfrac {180°+C}{3})-2\sin (\dfrac {180°+B}{3})\sin (\dfrac {180°+C}{3})\cos\dfrac{A}{3}$

この式に$(\dfrac{180°+B}{3})=β$、$(\dfrac{180°+C}{3})=γ$を代入します。

また、$\cos\dfrac{A}{3}$

$=\cos(180°-β-γ)$

$=-cos(-β-γ)$

$=-cos(-(β+γ))$

$=-cos(β+γ)$

ですので、これも代入します。

以上より、2枚目1行目の式になります。