• 解決済み

    @fumiaki

    2022/8/3 6:10

    2 回答

    2\sqrt2が無理数であることの証明をする時に背理法を用いると、有理数でないことがわかりますよね。でもそこから無理数であることを言うためには、2\sqrt2が実数であること事を言う必要があると思うのですが、2\sqrt2が実数であると証明する方法はありますか？

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    削除済みユーザー

    2022/8/5 17:37

    2=x+yi\sqrt2=x+yiと置きます。ただし、ここでx,yx,yはともに実数です。

    2\sqrt2とは、ニ次方程式z2=2z^2=2の正の解ですからz=x+yiz=x+yiを代入して、x2−y2+2xyi=2x^2-y^2+2xyi=2です。ここで、両辺の実部虚部を比較してみると

    {x2−y2=2⋯①xy=0⋯②\begin{cases}x^2-y^2=2\cdots ① \\xy=0\cdots ②\end{cases}

    であることが分かります。

    ここで、②よりx=0x=0またはy=0y=0が成り立ちます。

    x=0x=0として①に代入してみると−y2=2-y^2=2となります。

    しかし、yyは実数ですから−y2≤0<2-y^2\leq0<2となり矛盾します。

    したがってy=0y=0であり、これは2\sqrt2が実数であることを意味します。


    こんな感じでしょうか...

    補足

    正の解って書く必要はないですね...複素数に正も負もないので

    返信(1件)

    @fumiaki

    2022/8/5 18:13

    ちゃんと示すことができるのですね。

    スッキリしました。ありがとうございます。

    そのほかの回答（1件）

    @Rarara

    2022/8/3 14:51

    2\sqrt2　には、愛がありません。//

    返信(1件)

    @Rarara

    2022/8/3 15:18

    a+b=t,ab=sと置きます。a=t−bから、(t−b)b=s,b2−tb+s=0解の公式から、b=t±t2−4s2a=t−bから、a=t∓t2−4s2a+b=t,ab=sと置きます。a=t-bから、(t-b)b=s, b^2-tb+s=0解の公式から、b=\dfrac{t\pm\sqrt {t^2-4s}}{2}a=t-bから、a=\dfrac {t\mp\sqrt {t^2-4s}}{2}

    よって、aa+bb,aabba^a+b^b,a^ab^bにこれらを代入して表せられる。

    が、aa+bb,aabba^a+b^b,a^ab^bこれらは対称式ではないです。


    たまたま表せました。対称式とは多項式であることが大前提です。

    これらは次数が定まっておらず、多項式とは呼べない。


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