$\sqrt2$が無理数であることの証明をする時に背理法を用いると、有理数でないことがわかりますよね。でもそこから無理数であることを言うためには、$\sqrt2$が実数であること事を言う必要があると思うのですが、$\sqrt2$が実数であると証明する方法はありますか？

$\sqrt2=x+yi$と置きます。ただし、ここで$x,y$はともに実数です。

$\sqrt2$とは、ニ次方程式$$z^2=2$$の正の解ですから$z=x+yi$を代入して、$x^2-y^2+2xyi=2$です。ここで、両辺の実部虚部を比較してみると

$$\begin{cases}x^2-y^2=2\cdots ① \\xy=0\cdots ②\end{cases}$$

であることが分かります。

ここで、②より$x=0$または$y=0$が成り立ちます。

$x=0$として①に代入してみると$-y^2=2$となります。

しかし、$y$は実数ですから$-y^2\leq0<2$となり矛盾します。

したがって$y=0$であり、これは$\sqrt2$が実数であることを意味します。

こんな感じでしょうか...