黒波線部の

この問題では、極限値を求めるために

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{n-1}+ \left( -1 \right)^{n-1}}{2^{n}+ \left( -1 \right)^{n}}$$

の両辺を$2^{n}$で割る必要があります。

その変形を丁寧に書くと以下の通りになります。

$$\dfrac{2^{n-1}+ \left( -1 \right)^{n-1}}{2^{n}+ \left( -1 \right)^{n}}\\{}\\=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{n} \cdot \left(-1\right)^{n-1}}}{1+ \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}\\{}\\=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1} \cdot \left(-1\right)^{n-1}}}{1+ \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}\\{}\\=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}{1+ \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}$$

以上より黒波線部の変形は成り立ちます。