(1)の問題で、平行移動と対称移動の順番を逆にしてしまっては計算結果は異なってしまいますか？実際に自分で試してみたのですが、数字が合わなかったのでここで質問させていただきます。

異なります。

平行移動はどんな状況でも同じ方向に動きますが、対称移動は対象となる点や軸を中心に逆になるからです。

逆になってから動くか、動いてから逆になるかで違うということですね。

たとえばその問題だと、平行移動すれば $y=(x-p)^2+q$ となり、$x$ 軸に関して対称移動すると $-y=(x-p)^2+q \iff y=-(x-p)^2-q$ となります。

先に対称移動すると、$-y=x^2 \iff y=-x^2$ となり、平行移動して $y=-(x-p)^2+q$ となります。