赤線引いたところがどういうことか分からないです！！説明お願いします！

分点の公式より、$$\mathrm B \mathrm D : \mathrm C \mathrm D = m:n \iff \overrightarrow{\mathrm A \mathrm D}= \dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathrm A \mathrm B} + \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm A \mathrm C}$$ です。いま、

$$\overrightarrow{\mathrm A \mathrm D}= \dfrac{k}{\mathrm A \mathrm B}\overrightarrow{\mathrm A \mathrm B} + \dfrac{k}{\mathrm A \mathrm C}\overrightarrow{\mathrm A \mathrm C}$$

が成り立っているので、

$$\dfrac{k}{\mathrm A \mathrm B} : \dfrac{k}{\mathrm A \mathrm C} = \dfrac{n}{m+n} : \dfrac{m}{m+n} = n:m = \mathrm D \mathrm C : \mathrm B \mathrm D$$

となります。