この問題で、0<a<1の時、lim(1+a^n)=lim(1+0)^0=lim1^0=1とできるのではないかと思ってしまったのですが、はさみうちの原理を使わなくてはならないらしく、その理由がよく分かりません。上のやり方では、一部のnだけを無限に飛ばしている訳では無いので、どこが間違っているのか、よろしければ教えて頂けないでしょうか。極限の基礎がよくわかっていないような質問で申し訳ないです。

$f(n),g(n)$ が有限値 $\alpha,\beta$ に収束するとき，和や積の極限は項ごとに極限をとってよいこと，つまり，

$$\begin{aligned} f(n) + g(n) &\to \alpha + \beta \\ f(n) g(n) &\to \alpha \beta\end{aligned}$$

となることは教科書に書いてあるはずです。ですが，ベキの極限で底・指数ごとに極限をとってよい，つまり，

$$f(n)^{g(n)} \to \alpha^\beta$$

となるとは書かれていないと思います。その点で論理に飛躍があるとみなされたのではないでしょうか。

はさみうちの原理はこの問題にも使えますが，使わなくてはならないということはありません。たとえば対数を使えば，$f(n)$ が正の有限値 $\alpha$ に，$g(n)$ が有限値 $\beta$ に収束するとき，

$$\begin{aligned} \lim f^g&= \lim \exp(g \log f) \\&= \exp(\lim g \log f) && (\exp\ の連続性) \\&= \exp(\lim g \cdot \lim \log f) && (積の極限は極限の積) \\&= \exp(\lim g \cdot \log(\lim f)) && (\log\ の連続性) \\&= \exp(\beta \cdot \log \alpha) \\&= \alpha^\beta\end{aligned}$$

で，$f(n)^{g(n)} \to \alpha^\beta$ は正当化可能。だから

$$\lim_{n \to \infty} (1 + a^n)^{1/n}= (1 + 0)^0= 1$$

は間違っていません。もう少し行間を埋めなければ論理の飛躍とみなされうるというだけの話です。