芝浦工業大学、2021年全学統一試験の物理です。

以下、重力による位置エネルギーは最下点を基準とする。

力学的エネルギー保存則により、点 $\mathrm{C}$ における速さ $v$ は

$$\dfrac{1}{2}mv^2=mgH \iff v=\sqrt{2gH}$$

である。このとき、向心力の大きさは

$$m\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{2mgH}{r}$$

であり、垂直抗力の大きさ $N_1$ は

$$N_1-mg=\dfrac{2mgH}{r} \iff N_1=mg\left(\dfrac{2H}{r}+1\right) \quad [\mathrm{f}]$$

となる。

続いて、円 $\mathrm{O_2}$ での運動を考える。

力学的エネルギー保存則により、点 $\mathrm{P}$ における速さ $v_P$ は

$$\dfrac{1}{2}mv_\mathrm{P}^2+mgR(1-\cos\theta)=mgH \iff v_\mathrm{P}=\sqrt{2g(H-R+R\cos\theta)} \quad [\mathrm{e}]$$

である(どの瞬間においても常に保存されているので、最初と比較するのが計算が楽になることが多くておすすめです)から、先ほどと同様に円運動の運動方程式を考えると、

$$m\dfrac{v_\mathrm{P}^2}{R}=N-mg\cos\theta \iff N=mg\left(\dfrac{2H}{R}-2+3\cos\theta\right) \quad [\mathrm{a}]$$

となって垂直抗力の大きさ $N$ が得られる。

したがって、小球が $1$ 周するための条件は、$0\leqq\theta\leqq 2\pi$ の範囲のいかなる $\theta$ に対しても $N\geqq 0 \iff \dfrac{2H}{R}\geqq 2-3\cos\theta$ が成り立つことである。

$2-3\cos\theta$ の最大値は $5$ であることから、

$$\begin{aligned}N\geqq 0 &\iff \dfrac{2H}{R}\geqq 5 \\&\iff H\geqq \dfrac{5}{2}R\end{aligned}$$

最後に、円 $\mathrm{O}_4$ での運動を考える。

力学的エネルギー保存則により、点 $\mathrm{Q}$ における速さ $v_\mathrm{Q}$ は

$$\dfrac{1}{2}mv_\mathrm{Q}^2+mgH-mgs(1-\cos\phi)=mgH \iff v_\mathrm{Q}=\sqrt{2gs(1-\cos\phi)}$$

であるから、垂直抗力を $N_2$ とすると、

$$m\dfrac{v_\mathrm{Q}^2}{s}=mg\cos\phi-N_2 \iff N_2=mg(3\cos\phi-2)$$

が得られる。

ここで、円 $\mathrm{O_4}$ の弧に入った瞬間に $\phi$ は最大値 $\alpha$ をとるから、小球が円弧を離れない条件は

$$\begin{aligned}N_2\geqq 0 &\iff 3\cos\alpha-2\geqq 0 \\&\iff \cos\alpha \geqq \dfrac{2}{3} \quad [\mathrm{e}]\end{aligned}$$

次の $5$ つの場合のそれぞれにおいて、小球が受ける垂直抗力の最大値を考える。

$①$ 円 $O_1$ または円 $O_3$ 上で円運動をするとき、最大値は $N_1=mg\left(\dfrac{2H}{r}+1\right)$

$②$ 円 $O_2$ 上で円運動をするとき、最大値は $N=mg\left(\dfrac{2H}{R}+1\right)$

$③$ 円 $O_4$ 上で円運動をするとき、最大値は $N_2=mg$

$④$ 線分 $\mathrm{CD}$ 上または線分 $\mathrm{DT}$ で等速直線運動をするとき、垂直抗力 $N_3$ は常に $N_3=mg$

$⑤$ 斜面 $\mathrm{UV}$ を上昇するとき、垂直抗力 $N_4$ は常に $N_4=mg\cos\alpha$

以上より、$r<R$ であることに注意すると、垂直抗力の大きさが最大となるのは $2$ 点 $C,T$ で円運動をするときだから、$\mathrm{[b],[e]}$ である。

解答は以上となります。「円運動を続けられる条件(これを束縛条件と言います)は向心力が $0$ 以上である」はよく出てきますね。

このほかにも、糸が緩まない条件は張力が $0$ 以上や、物体が回転しない条件は(モーメントのつり合いから)垂直抗力が $0$ 以上など、束縛条件を考える問題は頻出なので押さえておきましょう。