高校数学の質問です。

(1)

円外の点 $\mathrm{C}$ から接点 $\mathrm{A},\mathrm{D}$ までの距離は等しいので、

$$\mathrm{CD}=\mathrm{CA}=6$$

よって

$$\mathrm{BC}=\dfrac73\mathrm{CD}=14$$

(2)

$\triangle\mathrm{ABC}$ に余弦定理を使って

$$\begin{align*}10^2&=6^2+14^2-2\cdot6\cdot14\cdot\cos\angle\mathrm{C}\\\cos\angle\mathrm{C}&=\dfrac{11}{14}\end{align*}$$

よって

$$\sin\angle\mathrm{C}=\sqrt{1-\left(\dfrac{11}{14}\right)^2}=\dfrac{5\sqrt3}{14}$$

なので求める面積は

$$\dfrac12\cdot6^2\cdot\dfrac{5\sqrt3}{14}=\dfrac{45\sqrt3}{7}$$

(3)

$\mathrm{AE}=x$ とおけば、方べきの定理により $\mathrm{BE}\cdot\mathrm{BA}=\mathrm{BD}^2$ なので

$$\begin{align*}(10-x)\cdot10&=8^2\\x&=\dfrac{18}{5}\end{align*}$$

(4)

円 $\mathrm{O}$ の中心を点 $\mathrm{O}$ とする。

$\angle\mathrm{ODC}=\angle\mathrm{OAC}=90^\circ$ より、$\angle\mathrm{AOD}=180^\circ-\angle\mathrm{C}$ であるから

$$\cos\angle\mathrm{AOD}=-\cos\angle\mathrm{C}=-\dfrac{11}{14}$$

円 $\mathrm{O}$ の半径を $r$ とすれば$\triangle\mathrm{ODA},\triangle\mathrm{ADC}$ に余弦定理を使うことで $\mathrm{AD}$ の長さに関して $r$ についての方程式が出来て

$$r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot\cos\angle\mathrm{AOD}=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cdot\cos\angle\mathrm{C}$$

よってこれを解いて

$$r=\dfrac{6\sqrt3}{5}$$