物理の質問です。参考書のドップラー効果の公式の導出で分からない所があります。参考書には以下のように説明されて居ました（

Question

物理の質問です。

参考書のドップラー効果の公式の導出で分からない所があります。参考書には以下のように説明されて居ました（参考書の説明はハイフンからハイフンまでです）。（波◯個分とは、波長◯個分と言うことです。）

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まず、音源が静止して居る場合を考えます。音の速さを $c$ 、振動数を $f_0$ 、波長を $\lambda$ とします。 $1$ 秒間を切り取って考えると、最初に発された波は $c$ 進み、 $1$ 秒後には音源から $c$ までの距離に波が $f_0$ 個あることになります。つまり、波長は $\lambda=\dfrac{c}{f_0}$ と表すことが出来ます。

次に、音源が速さ $v_s$ で波と同じ方向に運動して居る場合を考えます。 $1$ 秒間を切り取って考えると、最初に発された波は $c$ 進み、また、 $1$ 秒後には音源は $v_s$ だけ動くので、音源から最初に発された波までの距離 $c-v_s$ に波が $f_0$ 個あることになります。つまり、波長は $\lambda'=\dfrac{c-v_s}{f_0}$ と表すことが出来ます。

ここで補足ですが、音の速さは音源の速さに関係なく、一定で、音源が速さ $v_s$ で波と同じ方向に運動して居ても、音の速さは $c+v_s$ ではなく、 $c$ です。

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$\lambda=\dfrac{c}{f_0}$ と $\lambda'=\dfrac{c-v_s}{f_0}$ を変形すると、それぞれ $c=f_0\lambda$ と $c-v_s=f_0\lambda'$ となりますが、 $c-v_s=f_0\lambda'$ の方を見て見ると、この式は波の速さを表す式ですから、振動数が $f_0$ で、波長が $\lambda'$ の波は速さ $c-v_s$ で進むと言うことを表して居ますよね。これは音の速さが一定であり、 $c$ であることと矛盾して居ませんか？ネットでドップラー効果のシミュレーションを探して見て見たのですが、確かに音の速さは音源が運動して居るかに関わらず一定だったのですが、式で見て見ると、矛盾して居るように感じます。恐らく何か勘違いして居ると思うので是非ご指摘下さい。

回答宜しくお願い致します。

@atozkoxo · Accepted Answer

$$c - v_s = f_0\lambda^{\prime}$$ の右辺について考えてみましょう。$\ f_0\ $は静止音源による音波の振動数、$\ \lambda^{\prime}\ $は動く音源による音波の波長を示すわけですが、この積に物理的な意味はあるのでしょうか？  我々が「ドップラー効果」と称して説明したい現象を思い返すと、「音源が動くと聞こえる音の高さが変わってしまう」というものです。極端に言い換えれば、「静止音源と動く音源は最早『違う音源』と言えてしまう」ということです。 （もちろん、この2つの音源が無関係というわけではありません）  そうしたとき、この右辺は $$「音源1の振動数」	imes「音源2の波長」$$ という形になっていて、少なくとも我々の意図する波の基本式にはなっていないことに気づきます。  波の基本式は、あくまで1音源で統一された式であるべきことの注意しましょう。今回で言うなら、 $$「静止音源による音速」=「静止音源の振動数」	imes「静止音源の波長」$$ $$「動く音源による音速」=「動く音源の振動数」	imes「動く音源の波長」$$ の2式のみが波の基本式たる意味を持つと言うことです。  （もし間違いがあれば、質問者でも他の人でも構いませんので伝えて頂けると助かります。） 補足: 他方で、 $$ c-v_s = f_0\lambda^{\prime}$$ がこの2つの音源をつなぐ条件になっていると言うことが出来ます。 「もちろん、この2つの音源が無関係というわけではありません」というのは、この式によって2つの音源が関連するという旨を述べています。  この式を「波の基本式」と捉えるのではなく、2つの音源の関係を記述する式だと思っておくと理解しやすいのではないでしょうか？