解決済み
重力と垂直抗力のつり合いの式を作るときに一直線上に力のベクトルが来るように力を分解すると思うのですが、添付した画像のように分解の仕方で式が変わってしまいます。何を見落としているのでしょうか。長さや形を見比べてそのときそのときで判断しなければいけないのでしょうか？三角代の時と半球の時でつり合いの式の作り方が違うのもよくわかりません。よろしくお願いします。
ベストアンサー
上のものについては、小球に右向きの外力が加わっているからです。そもそも、その力がなければつり合いは成立しません。その横向きの力も分解して斜めに組み込むことができれば、斜め方向にもつり合いは成り立ちます。その力の大きさが未知であることが多いので、まずはその力が影響を与えない鉛直方向のつり合いを考えようということです。
下の右図については分解の考え方が間違っています。垂直ならば何でもいいのではなく、斜辺がもとの力となるようにするのが分解です。逆に、２つの異なる向きを持った力を足し合わせるときはその２辺を持つ平行四辺形(垂直の場合は長方形)を考えるように、分解前または合成後の力が最も長くなるようにする必要があります。
例えばθを89度で考えてみると、違和感に気づくと思いますよ。
上の図で下向きに小さな重力が加わった時、ほぼ横向きに非常に大きな力が働くのがおかしいのはわかると思います。
なるほど！上の方は確かに重力だけじゃ成り立たないのは感覚的にも理解できました！たしか慣性力が働いていた問題でした。だから垂直のつり合いで関係式を作るのですね！下の方は重力を斜辺とした分解だから勝手に垂直抗力と同じ大きさの力を斜辺にしてはいけないという理解でいいのでしょうか？
垂直抗力を斜辺として分解するのは自由ですが、釣り合いの式が成り立たないだけです。
加速を受けている物体は、加速を受けている方向には釣り合いが成り立ちません。(仮想的に慣性力を考えて釣り合わせることはできますが。)
今回、斜辺を下っている物体は下方向にも左方向にも加速していくので、垂直抗力を斜辺に分解したところで、2つの運動方程式が出てくるだけです。まあ、2つの加速度の比が、θに拘束を受けているので、結局この方法でも解くことができる(加速度と垂直抗力が未知数で、方程式が2つ)のですが。
普通は、斜面の方向およびそれに垂直な方向に分解した方が計算が簡単になることが多いので、そのように分解します。斜面方向は加速していくので釣り合いが成り立ちませんが、それに垂直な方向は(斜面にめり込んでいくわけではないので)釣り合いの式が使えます。
以上、回答になっていますでしょうか。
簡単にいうと、停止を含む等速度ならば釣り合いの式を、加速を受けた運動ならば運動方程式を立てる必要があるということです。
質問者からのお礼コメント
確認が遅くなり申し訳ありません。なるほど！理解しました！確かに垂直抗力を分解して勝手に重力と釣り合っているとしてしまいましたが斜面を降りているゆえに下向きに加速度運動していますね。かなりモヤモヤしていた部分だったので大変助かりました。ありがとうございました！🙏