画像で小球が速さv₀で矢印の方向に運動しています。半円の半径をrとし、摩擦力は無視できるものとします。

この鉛直面内での運動は円運動です。小球が上に向かうとだんだん速さが減少していきますが、一瞬を切り取るとその速さも等しいと捉えることができます。その一瞬における運動方程式を考えるのが定石ですね。

ここで、運動を考えるということは、注目する物体にはたらく力をすべて考えるということです。今回の小球にはたらく力は、重力と垂直抗力ですね。

重力は常に鉛直下向きに $mg$ の大きさではたらいています。垂直抗力は、円の形をした壁と接触しているときにのみはたらきます。向きは壁から小球に向かう向きで、大きさは状況によります。

基本的には、壁や床から離れたりめり込んだりしない(=壁や床と垂直な方向に運動しない)ので、その方向で力はつり合っています。垂直抗力は、そのつり合いの式を満たすような大きさになるということです。

ただし、今回のような問題では、壁から離れる可能性があります。離れている状態では垂直抗力ははたらいていません。つまり、垂直抗力が $0$ になる瞬間が壁から離れる瞬間です。

今回の問題では、運動方程式は次のようになります。

$$m\dfrac{v^2}{r}=N-mg\cos\theta$$

速度 $v$ の値は、力学的エネルギー保存式$$\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}mv^2+mgr(1-\cos\theta)$$から求められますね。

$\theta>90^\circ$ の範囲では、垂直抗力 $N$ が負になる可能性があります。負になるような角度 $\theta$ が存在するときは $N=0$ となる瞬間に離れるので、$\theta=180^\circ$ において $N\geqq0$ となれば、最高点 $\mathrm{R}$ に到達します。

$「1」$を満たす $v_0$ は、最高点 $\mathrm{R}$ と$\bold{同じ高さに到達するような}$初速度のことです。

位置エネルギーが $2mgr$ になるときに運動エネルギーが $0$ になるという意味の式だからです。

このとき壁からは離れているので、点 $\mathrm{R}$ の左側でその高さに到達することになります。