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まず分散とはなんでしょうか?　一言で表すと、確率変数のばらつき度合いを表すものです。

では確率変数とはなんでしょう。これは、ある確率で起こる事象に対応する数値を定める関数のようなものです。

たとえば偏りのない6面サイコロを振って出る目の期待値を計算するとき、6の面が上を向いたという事象に対して出た目(数値)を6と定めるということです。

さて、分散の前にまず期待値について正しく理解をしましょう。

離散確率分布における期待値の定義は、確率関数(X=xとなる確率を表す関数)$P_X(x) := P(X=x)$による確率変数$X$の加重平均です。つまり

$E[X] := \sum_{x}{xP(X=x)}$です。ここで$x$は確率変数の取りうる個々の値です。

一様分布においては

定義域内の点の数を$N$とすれば、

$P(X=x) = \frac{1}{N}$で一定であり

$E[X] = \frac{1}{N}\sum_{x}{x}$となります。

例えば偏りのない6面サイコロの目を一回振ってでる目の期待値は

$\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}{i} = \frac{21}{6}$となります。

しかし出る確率に偏りがあったらどうでしょうか。

たとえば$\frac{1}{3}$で$1$が、$\frac{2}{3}$で$2$が出るくじ引きを考えましょう。この場合の期待値は

$\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot 2 = \frac{5}{3}$です。

また、$X$の関数$f(X)$期待値についても、期待値の意味を考えれば、

$E[f(X)] := \sum_x{f(x)P(X=x)}$と定義できます。

さて、これを踏まえてた上で分散の定義を振り返りましょう。

$V[X] := E[(X - \mu)^2]$

なお、$\mu$は平均というより一般に期待値(加重平均)で$\mu := E[X]$です。

これを期待値の定義に当てはめると、

$V[X] = \sum_{x}{(x-\mu)^2P(X = x)}$

となります。

もし一様分布であれば、

$V[X] = \frac{1}{N}\sum_{x}{(x-\mu)^2}$となります。

実験をするような場合を考えるなら試行回数を$N$として、

$\mu =$平均, $P(X=x) = \frac{1}{N}$とすれば良いでしょう。