複素数の極形式について、

$a,b$ を実数として、$a+bi=0$ とすると、$a=-bi \Rightarrow a^2=-b^2$ となって、$a=b=0$ となります。

逆に、$a=b=0$ のとき、$a+bi=0$ となるので、$a+bi=0 \iff a=b=0$ が成り立ちます。

ここから、$x_1+y_1i=x_2+y_2i \iff (x_1-x_2)+(y_1-y_2)i=0 \iff x_1=x_2 \text{ かつ }y_1=y_2$ が得られます。

$r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2},r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$ なので $r_1=r_2$ ですし、偏角も同様です。

ただし、偏角については $2\pi$ の整数倍の違いは除く必要があります。

つまり、$0\leqq\theta_1<2\pi,0\leqq\theta_2<2\pi$ であれば $\theta_1=\theta_2$ となりますが、一般的に偏角といった場合この範囲のものを指すので、大丈夫です。