解決済み
下の図のように、三角形ABCの辺AB上に点Eをとり、辺BC上に任意の点をとって正三角形を描いていくと、正三角形のもう一つの点は一直線上にあることを証明してください。
なお、これは数学Aの作図の分野で、私が理由を知りたくなったものです。よろしくお願いします。
ベストアンサー
三角形EFHと三角形ECGは相似で、
三角形EHDと三角形EGBも相似です。
したがって角EHF+角EHD=角EGC+角EGB=180°
つまり、F,H,Dは一直線上にあります
補足
相似というか、合同ですね
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そのほかの回答（3件）
複素平面か行列かで，点E中心として辺BC上に取った点を回転させた点を求めて，ってしたら出来るんじゃないかな？
時間ないから証明は他の人に任せるけど，自分でやるならこの辺使ってみては？
三角形ABCを正三角形に特定させて、
点Eを辺ABの中心点に特定し、分かりやすい数字にして改めて考えてみては如何でしょうか。
そうすると、一直線上と言われるもう一点の線の傾き云々の違いだけで考え方は大体合うと推測します。
証明まではご自身でしてみたら理解が進むと思い、していません。
ご回答ありがとうございます。
おっしゃったとおりにすると、下のように、だいぶ簡単になりました(2つに分けています)。
「ABと直線ℓが平行だ」ということを左右両方で言えばよいと思うのですが、右は簡単に証明できましたが左が難しいです。
どのようにすればいいのか、もしよろしかったら教えてください。
義務教育で座標は習ったと思うので座標でやってみました。
(計算だるすぎたから諦めて計算のみ複素数平面です、申し訳ないです。)
中間の7行いらないです。連立方程式を解いて、一番下の方程式が出てくる、と言った感じです。
幾何的に示す場合、一回共通テストの誘導でみたことあるのは、点Aあたりから定直線に垂線をおろして、その足をHとすると、AHの長さは定数になる、ということから示す流れを見たことがあります。(この問題で使えるかは不明、難しい。)
写真付きのご回答ありがとうございます。
難しい。。複素数や虚数を習った際に改めて咀嚼させていただきます。
証明を最後までしていただき、ありがとうございました。
質問者からのお礼コメント
ご回答ありがとうございます。
確かに……。
あまりに簡潔すぎて本当に証明できているのか疑ってしまいますが、
難しく考えすぎていたのかもしれません。
最もわかりやすかったのでベストアンサーにさせていただきます。
他の方も3人も回答していただき、本当にありがとうございました。