数学の質問です。冪関数や分数関数以外の関数（三角関数、指数関数、対数関数など）の微分に就いてですが、例えば$\sin

Question

数学の質問です。

冪関数や分数関数以外の関数（三角関数、指数関数、対数関数など）の微分に就いてですが、例えば $\sin 2x$ を微分すると、 $2\cos 2x$ となりますが、なぜ合成関数の微分法を使わなければならないのでしょうか？ $\sin x$ を微分すると $\cos x$ になるので、 $\sin 2x$ を微分する時に $x$ を $2x$ で置き換えて $\cos 2x$ とするのは何が間違って居るのでしょうか？勿論導関数の定義を使って計算すると前者が正しいのは分かるのですが、、、今迄、公式を使うと言うと、置き換えしかしたことがなかったので、何か感覚的に気持ち悪いです、、、

回答宜しくお願いします。

Accepted Answer

$\sin 2x$ を $2x$ について微分することと，$x$ について微分することは違います。  実際，わかり易さのために $y = 2x$ とおき，$x,y$ それぞれについて微分すると， $$ \begin{aligned}   \frac{d}{dy}\sin y &= \cos y = \cos 2x \   \frac{d}{dx}\sin y &= \cos y \cdot \dfrac{dy}{dx} = 2 \cos 2x \end{aligned} $$ となり，得られる結果が別です。  微分法は機械的に計算できるのが強みだと思うので，あまり深い意味は考えずに計算法に習熟するのが良いと思います。

@Nekokaburi · Answer

感覚的に気持ち悪い…ということだったので、逆の発想はいかがでしょう。 $$ (\sin x )' = \cos x • (x)' = \cos x •1= \cos x $$ sin 2x の微分が特殊なのではなく、 sin x の微分が特殊なのです。  　合成関数と見て考えても、どうせ1をかけるだけなので、合成関数の微分を考慮しなくも結果が変わらないように見えるだけですよ。