2005東大数学大問2 以下の問題文を論理記号を用いて表すとどの様になるでしょうか？ |z|5/4 となるどのような複

Question

2005東大数学大問2

以下の問題文を論理記号を用いて表すとどの様になるでしょうか？

|z|>5/4 となるどのような複素数 z に対しても、 w=z^2－2z とは表されない複素数 w 全体の集合を T とする。

すなわち

T={w│w=z^2－2z ならば |z|≦5/4}

とする。このとき、 T に属する複素数 w で絶対値 |w| が最大値となるような w の値を求めよ。

まず本文の読み取りが難しく、自分で途中まで以下のように書き進めてみたのですがよく分からなくなってしまいました。

T={w|∀z{|z|>5/4⇒∀w[w≠z^2-2z]}}

すなわちの前まで？

T={w|∀z{∃w[w=z^2-2z]⇒|z|≦5/4}}

すなわちの後の言いかえは対偶を取ったものかと考えて上の様にしたのですが､､､

完全に的外れになってしまっていると思うのでご教授頂ければ幸いです。

@ontama_udon · Accepted Answer

的外れというわけでもないです。  条件$P(a)$を満たす$a$全体の集合を$A$とするとき、 $A=\{a|P(a)\}$　と書き表します。 なので、|の後ろは$a$の条件となっている必要があります。  量化記号$\forall$や$\exists$はそれがかかった文字の条件を消す効果があるので、 $\forall w(w 
eq z^2-2z)$としてしまうと$()$の中身が$w$の条件ではなくなってしまいます。 よって$\forall$はいりません。  ここまでを式に直すと、$T= \{w| \forall z(|z|> \frac{5}{4} ightarrow w 
eq z^2-2z) \}$　となります。 対偶をとると、$T= \{w| \forall z( w=z^2-2zightarrow |z|\leqq \frac{5}{4}) \}$　です。  これで充分正しいですが、今回は$\forall z$も省けます。(省くと言っていいかは疑問ですが、、、) 高校数学における「ならば」には、「ならば必ず」「ならば常に」という意味が隠されています。つまり、「ならば」自身が「$\forall $」の意味を持っているということです。  よって、最終的に$T=\{w|w=z^2-2z ならば |z|\leqq \frac{5}{4}) \}$　となるわけです。