数学の質問です。

「十分近くで〜が成り立つ」のような主張は “存在性” に関する主張です。存在性だけ主張して，「どれくらい近くなければならないか」という具体的情報については何も述べません。

厳密に定義するなら，「$x = a$ の十分近くで $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つ」とは次のことを意味します：

「定数 $\delta > 0$ が存在し，区間 $(a - \delta, a + \delta)$ 上の任意の点 $x$ において $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つ」

$f(x) \leqq g(x)$ を成立させるために $\delta$ が具体的にどれくらい小さくあるべきかは分かりません。が，ともかくも，ある正の幅をもつ区間 $(a - \delta, a + \delta)$ 上では必ず $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つことを主張します。

同様に「十分大きな $x$ に対して $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つ」も，ある定数の存在について主張します：

「定数 $\alpha$ が存在し，区間 $(\alpha, \infty)$ 上の任意の点 $x$ において $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つ」

こちらも $\alpha$ がどれくらい大きくあるべきかは分かりませんが，ある半直線 $(\alpha, \infty)$ 上では必ず $f(x) \leqq g(x)$ が成り立つことを主張します。

極限の議論などをするときは，$\delta$ や $\alpha$ の具体値はどうでもよく，ただそれの存在することだけが大事な場合がよくあります。「十分近くで」や「十分大きな」といえば，$\delta$ や $\alpha$ のような変数を一々もち出さずに済むので，簡便です。余計な具体性を排して議論するための便利な言い回しといえます。