模試で間違えた問題を復習しているのですが、どうしてもわからないので、⑷の解き方を教えていただけると助かります。

$T(4)$ のうち増加表であるものの総数を考えましょう。

増加表の条件より、$b_1$ より小さい数は、上の行に小さい順に並ぶことが分かります。

さらに、$a_2$ には、$a_1,b_1$ を除く最小の数が入ります。

したがって、$b_1$ の値によって次のような場合が考えられます。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 3&a_3 & a_4\\ \hline 2 & b_2 &b_3 & 8 \\ \hline \end{array} \quad\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 &a_3 &a_4 \\ \hline 3 & b_2 & b_3& 8 \\ \hline\end{array}\quad\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & a_4 \\ \hline 4 &b_2 &b_3 & 8 \\ \hline \end{array}\quad\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \end{array}$$

$b_1=2,3$ のとき、右側の $3$ 列の並べ方を考えると、その総数は $T(3)$ のうち増加表であるものの総数と一致することが分かります。つまり、それぞれ $5$ 通りです。

$b_1=4$ のとき、$a_4$ に入る数を $5,6,7$ の中から選べば$\bold{自動的に}$並ぶ順番が決まります。よって $3$ 通りです。

$b_1=5$ のときは $1$ 通りです。

合計して $14$ 通りの増加表が存在します。

この考え方を拡張して、$T(5)$ の増加表の総数を求めていきましょう。

$T(5)$ を次のように書くとします。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline a_1 & a_2 & a_3 & a_4 &a_5 \\ \hline b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 \\ \hline \end{array}$$

このとき、$a_1=1,b_5=10$ が確定します。

また、$b_1$ に入るのは $2,3,4,5,6$ の $5$ パターンです。

$b_1=2,3$ のとき、

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1 & 3 & a_3 & a_4 &a_5 \\ \hline 2 & b_2 & b_3 & b_4 & 10 \\ \hline \end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & a_3 & a_4 &a_5 \\ \hline 3 & b_2 & b_3 & b_4 & 10 \\ \hline \end{array}$$

先ほどと同様に $T(4)$ の増加表の総数と同じなので、それぞれ $14$ 通りです。

$b_1=4$ のとき、

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & a_4 &a_5 \\ \hline 4 & b_2 & b_3 & b_4 & 10 \\ \hline \end{array}$$

残りの $5,6,7,8,9$ のうち、$a_4,a_5$ に入る $2$ つを選べば$\bold{自動的に}$並ぶ順番が決まります。ただし、$(a_4,a_5)=(8,9)$ は条件を満たしません。

よって、$_5\mathrm{C}_2-1=9$ 通りです。

$b_1=5$ のとき、

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4 &a_5 \\ \hline 5 & b_2 & b_3 & b_4 & 10 \\ \hline \end{array}$$

$a_5$ に入る数を $6,7,8,9$ の中から選べば$\bold{自動的に}$並ぶ順番が決まります。よって $4$ 通りです。

$b_1=6$ のとき、

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 & 4 &5 \\ \hline 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \end{array}$$

と $1$ 通りです。

以上より、$T(5)$ のうち増加表であるものの総数は、

$$14+14+9+4+1=42\text{ 通り}$$

となります。

共通テストでは、まずはじめに簡単な場合を丁寧に誘導して求め、それをより一般的な場合に拡張できるかを問うタイプの形式が多く出題されています。

今回では、$T(3),T(4)$ を考えていくうえで、どのようにすれば $n$ が大きくなっても対応できるかを考えるということです。

具体化・抽象化は数学の問題を解くうえで必須の技術です。頑張ってください。