この、$DH=\bigg| \overrightarrow{AD} \cdot \dfrac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|} \bigg|$が何故そうなるのか分からないので教えていただきたいです。よろしくお願いします。

$\vec{AD}, \vec{n}$ のなす角が $\angle ADH$ に等しいことに注意する。$2$ つのベクトルのなす角の余弦はそれらを正規化したものの内積に等しいから，

$$\newcommand{\myv}[1]{\vec{#1}} |\cos\angle ADH| = \left|\frac{\myv{AD}}{|\myv{AD}|} \cdot \frac{\myv{n}}{|\myv{n}|}\right|$$

したがって，

$$\newcommand{\myv}[1]{\vec{#1}} |\myv{DH}| = |\myv{AD}| \cdot |\cos\angle ADH| = \left|\myv{AD} \cdot \frac{\myv{n}}{|\myv{n}|}\right|$$

絶対値記号は（$\vec{n}$ の向きが $\vec{HD}$ に同じなので）つけなくてもよいですが，模範解答のようにつけておく方が無難だとは思います。