解決済み

この問題教えていただきたいです。

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与えられた式を計算するために、順に計算していきます。

まず、最も内側の\sumから計算していきます

l=1i(l+1)\sum_{l=1}^{i} (l+1)から計算していきます。

この式を計算します。ΣΣの下限から上限までの各lについて、l+1l+1の値を計算し、それらをすべて合計します。つまり、l=1l=1の場合からl=il=iの場合までの(l+1)(l+1)の合計です。これを式で表すと次のようになります:l=1i(l+1)=(1+1)+(2+1)+(3+1)+(4+1)+,,,,,,+(i+1)\sum_{l=1}^{i}(l+1)=(1+1)+(2+1)+(3+1)+(4+1)+,,,,,,+(i+1)

これを簡単に計算するために、各項目をまとめます:2+3+4+,,,,,,,,,,,,,,,,,,+(i+1)2+3+4+,,,,,,,,,,,,,,,,,,+(i+1)

これは、等差数列の和の公式を使用して計算できます。等差数列の和の公式は次のようになります:

n2(2a+(n1)d) \dfrac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)d\right)

ここで、nnは項目の数、aaは初項、ddは公差です。


この場合、n=i,a=2,d=1n = i, a = 2, d = 1 です。したがって、この等差数列の和は次のように計算できます:i2(22+(i1)1)=i2(4+i1)=i2(i+3)\dfrac{i}{2}\left(2\cdot2+\left(i-1\right)\cdot1\right)=\dfrac{i}{2}\left(4+i-1\right)=\dfrac{i}{2}\left(i+3\right)

次に、\sumに移ります:i=1k(i2(i+3))\sum_{i=1}^{k}\left(\dfrac{i}{2}\left(i+3\right)\right)

この式を計算します。ΣΣの下限から上限までの各iについて、i2(i+3)\frac{i}{2}(i+3) の値を計算し、それらをすべて合計します。これはiiに関する式ですので、kkには影響しません。

したがって、このシグマの計算が完了しました。最後に、最も外側のシグマに移ります:k=1n(i=1ki2(i+3))\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}\dfrac{i}{2}\left(i+3\right)\right)

この式を計算します。Σの下限から上限までの各kについて、i=1ki2(i+3)\sum_{i=1}^{k}\frac{i}{2}(i+3) の値を計算し、それらをすべて合計します。これで与えられた式の計算が完了です。

わからないことや、これ誤植じゃねみたいなことがあったら何なりとご連絡を。

こういう問題は、@physicallyphisiや@ARCCOTANGENTのほうが得意です


返信(1件)

ありがとうございます😊

そのほかの回答(2件)

この回答は削除されました。

自分はΣΣの仕組みを理解している前提で話を進めていきます。答えは一番最後に書いてありますので答え合わせに使ってもらってください


もし、和に関することがあまり分からなかったら上記の@Arsenicさんのを参考にしてみるといいんじゃないでしょうか


一見めちゃくちゃにも見えますが内側の計算から処理してゆけば何ら問題はありませんね。

今回利用する公式は、

k=1nk=12k(k+1) k=1nk2=16k(k+1)(2k+1) k=1nk3=(12k(k+1))2\sum_{k=1}^{n} k=\dfrac{1}{2}k(k+1) \sum_{k=1}^{n} k^2=\dfrac{1}{6}k(k+1)(2k+1) \sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\dfrac{1}{2}k(k+1)\right)^2


まずは公式の通り

l=1i(l+1)=12i(i+1)+i\sum_{l=1}^{i}(l+1)=\dfrac{1}{2}i(i+1)+i

更に左ので解きます。ここから複雑になっていくと思います


=12i=1k(i2+3i)=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{k} (i^2+3i)

=12(16k(k+1)(2k+1)+32k(k+1)) =\dfrac{1}{2}\Bigl( \dfrac{1}{6} k(k+1)(2k+1)+\dfrac{3}{2} k(k+1) \Bigr)

=112{k(k+1)(2k+1)+9k(k+1)}=\dfrac{1}{12}\{k(k+1)(2k+1)+9k(k+1)\}

展開!

=112(2k3+12k2+10k)=\dfrac{1}{12}(2k^3+12k^2+10k)

最後のに組み込みます。

(与式)=112k=1n(2k3+12k2+10k)(与式)=\dfrac{1}{12}\sum_{k=1}^{n} (2k^3+12k^2+10k)

=112(12k2(k+1)2+2k(k+1)(2k+1)+5k(k+1))=\dfrac{1}{12}\Bigl( \dfrac{1}{2}k^2(k+1)^2+2k(k+1)(2k+1)+5k(k+1) \Bigr)

もう因数分解

=124k(k+1)(k2+9k+14)=124k(k+1)(k+2)(k+7)=\dfrac{1}{24}k(k+1)(k^2+9k+14)=\dfrac{1}{24}k(k+1)(k+2)(k+7)


最終的に計算ばかりになってしまいました🙇


補足

申し訳ありません、最後らへんの項の文字は全部nnでした……


違和感があれば何でもお問い合わせくださいね

返信(1件)

ありがとうございます

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