やっぱΣでしょ。です

与えられた等式を示すために、x と (1 - x) の n 乗の積を展開し、右辺のΣ (総和) の式と比較します。等式が成り立つことを示すために、数学的帰納法を使用します。

基底ケース (n = 2) で等式が成り立つことを示します。

n = 2 の場合、等式は次のようになります。

x^2 (1 - x)^2 = C(0, 1) * (x^2 * 1) + C(1, 1) * (x * (1 - x)) + C(0, 1) * (1 * (1 - x)^2)

ここで、C(k, 1) = 1 です。上記の式を展開すると

x^2 (1 - x)^2 = (x^2 * 1) + (x * (1 - x)) + (1 * (1 - x)^2)

これを整理すると

x^2 (1 - x)^2 = x^2 - x^3 + x - x^2 + 1 - 2x + x^2

これらの項がすべて打ち消し合い、等式が成り立ちます。

次に、数学的帰納法を使用し、n が任意の整数で等式が成り立つことを示します。

帰納法の仮定：

n = k の場合に等式が成り立つと仮定します。つまり、x^k (1 - x)^k と右辺のΣの式が等しいと仮定します。

帰納法のステップ：

n = k + 1 の場合を考えます。まず、x^(k+1) (1 - x)^(k+1) を展開します。

x^(k+1) (1 - x)^(k+1) = x * (x^k) * (1 - x) * (1 - x)^k

ここで、帰納法の仮定を使用します。x^k (1 - x)^k と右辺のΣの式が等しいと仮定すると、

x^(k+1) (1 - x)^(k+1) = x * Σ(k=0 to k-1) [C(k, k) * (x^(k-k) * (1-x)^(k-k))] * (1 - x) * (1 - x)^k

ここで、Σの式は k = 0 から k-1 までの項の総和です。この部分は帰納法の仮定により x * x^k * (1 - x) * (1 - x)^k と等しいことがわかります。

したがって、

x^(k+1) (1 - x)^(k+1) = x * [x * x^k * (1 - x) * (1 - x)^k] = [x^2 * (1 - x)^2] * [x * x^k * (1 - x) * (1 - x)^k]

ここで、x^2 * (1 - x)^2 は n = 2 の場合に等式が成り立つことを示すときに確認した部分です。そして、帰納法の仮定により、x * x^k * (1 - x) * (1 - x)^k も等しいと仮定されています。

したがって、n = k + 1 の場合にも等式が成り立つことが示され、数学的帰納法により、任意の整数 n に対して等式が成り立つことが示されました。