本当に積分かどうかわからない積分です。次の等式を証明できる方はいらっしゃいますか？$$\int \sin^m x\co

Question

本当に積分かどうかわからない積分です。

次の等式を証明できる方はいらっしゃいますか？ $\int \sin^m x\cos^n x dx=\dfrac{\sin^{m+1} x\cos^{n-1} x}{m+n}+\dfrac{n-1}{m+n}\int \sin^m x\times\cos^{n-2} x dx\cdot\cdot\cdot①$ $\int \sin^m x\cos^n x dx=-\dfrac{\sin^{m-1} x\cos^{n+1} x}{m+n}+\dfrac{m-1}{m+n}\int\sin^{m-2} x\times\cos^n x dx\cdot\cdot\cdot②$

補足

$m+n≠0$ です。条件が抜けてました。

誤植や質問等ありましたらご一報ください。

@DoubleExpYui · Accepted Answer

$$ I(m,n)=\sin\int\sin^mx\cos^nxdx$$ とおくと $$\begin{align*} I(m,n)&=\int\sin^mx\cdot(\cos x)\cos^{n-1}xdx\ &=\int\left(\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}xight)'\cos^{n-1}xdx\ &=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x-\dfrac{n-1}{m+1}\int\sin^{m+1}x\cos^{n-2}x(-\sin x)dx\ &=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{m+1}\int\sin^{m+2}x\cos^{n-2}xdx\ &=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{m+1}\int\sin^{m}x(1-\cos^2x)\cos^{n-2}xdx\ &=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{m+1}\left(I(m,n-2)-I(m,n)ight) \end{align*}$$ よって $$\begin{align*} &\phantom{\Longleftrightarrow}\ &(m+1)I(m,n)&=\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+(n-1)\left(I(m,n-2)-I(m,n)ight)\ &\Longleftrightarrow\ &(m+n)I(m,n)&=\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+(n-1)I(m,n-2)\ &\Longleftrightarrow\ &I(m,n)&=\dfrac{\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x}{m+n}+\dfrac{n-1}{m+n}I(m,n-2) \end{align*}$$  もう片方も同様。