解決済み
Arsenic

本当に積分かどうかわからない積分です。

次の等式を証明できる方はいらっしゃいますか？∫sin⁡mxcos⁡nxdx=sin⁡m+1xcos⁡n−1xm+n+n−1m+n∫sin⁡mx×cos⁡n−2xdx⋅⋅⋅①\int \sin^m x\cos^n x dx=\dfrac{\sin^{m+1} x\cos^{n-1} x}{m+n}+\dfrac{n-1}{m+n}\int \sin^m x\times\cos^{n-2} x dx\cdot\cdot\cdot①∫sin⁡mxcos⁡nxdx=−sin⁡m−1xcos⁡n+1xm+n+m−1m+n∫sin⁡m−2x×cos⁡nxdx⋅⋅⋅②\int \sin^m x\cos^n x dx=-\dfrac{\sin^{m-1} x\cos^{n+1} x}{m+n}+\dfrac{m-1}{m+n}\int\sin^{m-2} x\times\cos^n x dx\cdot\cdot\cdot②

補足

m+n≠0m+n≠0です。条件が抜けてました。

誤植や質問等ありましたらご一報ください。

いいね0

回答 1件

ベストアンサー

DoubleExpYui

I(m,n)=sin⁡∫sin⁡mxcos⁡nxdxI(m,n)=\sin\int\sin^mx\cos^nxdx

とおくと

I(m,n)=∫sin⁡mx⋅(cos⁡x)cos⁡n−1xdx=∫(1m+1sin⁡m+1x)′cos⁡n−1xdx=1m+1sin⁡m+1xcos⁡n−1x−n−1m+1∫sin⁡m+1xcos⁡n−2x(−sin⁡x)dx=1m+1sin⁡m+1xcos⁡n−1x+n−1m+1∫sin⁡m+2xcos⁡n−2xdx=1m+1sin⁡m+1xcos⁡n−1x+n−1m+1∫sin⁡mx(1−cos⁡2x)cos⁡n−2xdx=1m+1sin⁡m+1xcos⁡n−1x+n−1m+1(I(m,n−2)−I(m,n))\begin{align*}I(m,n)&=\int\sin^mx\cdot(\cos x)\cos^{n-1}xdx\\&=\int\left(\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\right)'\cos^{n-1}xdx\\&=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x-\dfrac{n-1}{m+1}\int\sin^{m+1}x\cos^{n-2}x(-\sin x)dx\\&=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{m+1}\int\sin^{m+2}x\cos^{n-2}xdx\\&=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{m+1}\int\sin^{m}x(1-\cos^2x)\cos^{n-2}xdx\\&=\dfrac{1}{m+1}\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+\dfrac{n-1}{m+1}\left(I(m,n-2)-I(m,n)\right)\end{align*}

よって

⟺ (m+1)I(m,n)=sin⁡m+1xcos⁡n−1x+(n−1)(I(m,n−2)−I(m,n))⟺ (m+n)I(m,n)=sin⁡m+1xcos⁡n−1x+(n−1)I(m,n−2)⟺ I(m,n)=sin⁡m+1xcos⁡n−1xm+n+n−1m+nI(m,n−2)\begin{align*}&\phantom{\Longleftrightarrow}\ &(m+1)I(m,n)&=\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+(n-1)\left(I(m,n-2)-I(m,n)\right)\\&\Longleftrightarrow\ &(m+n)I(m,n)&=\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x+(n-1)I(m,n-2)\\&\Longleftrightarrow\ &I(m,n)&=\dfrac{\sin^{m+1}x\cos^{n-1}x}{m+n}+\dfrac{n-1}{m+n}I(m,n-2)\end{align*}


もう片方も同様。


いいね0

関連する質問

関連する記事

質問する