解決済み
Arsenic

友達作の積分の問題です。(1)∫sin⁡mxcos⁡nxdx=sin⁡m−1x(n−1)cos⁡n−1x−m−1n−1∫sin⁡m−2xcos⁡n−2xdx(n≠1)\left(1\right) \int \dfrac{\sin ^m{x}}{\cos^n{x}} dx=\dfrac{\sin^{m-1} x}{\left(n-1\right)\cos^{n-1} x}-\dfrac{m-1}{n-1}\int \dfrac{\sin^{m-2} x}{\cos^{n-2} x} dx \left(n≠1\right)を示し、これを用いて∫sin⁡4xcos⁡2x　dx\int \dfrac{\sin^4 x}{\cos^2 x}　dxを求めよ。

解説よろしくお願いします。(僕は解きました。詰まりはしませんでしたが、解答に自信がないです)

補足

(1)\left(1\right)に対して意味はありません

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DoubleExpYui

n≠1n\neq1のとき

∫sin⁡mxcos⁡nxdx=∫(sin⁡mx)(cos⁡−nx)dx=∫(sin⁡m−1x)(sin⁡x)(cos⁡−nx)dx=∫(sin⁡m−1x){−1−n+1(cos⁡−n+1x)}′dx=1n−1(sin⁡m−1x)(cos⁡−n+1x)−1n−1∫(m−1)(sin⁡m−2xcos⁡x)(cos⁡−n+1x)dx=sin⁡m−1x(n−1)cos⁡n−1x−m−1n−1∫(sin⁡m−2x)(cos⁡−n+2x)dx=sin⁡m−1x(n−1)cos⁡n−1x−m−1n−1∫sin⁡m−2xcos⁡n−2xdx\begin{align*}\int\dfrac{\sin^mx}{\cos^nx}dx&=\int(\sin^mx)(\cos^{-n}x)dx\\&=\int(\sin^{m-1}x)(\sin x)(\cos^{-n}x)dx\\&=\int(\sin^{m-1}x)\left\{\dfrac{-1}{-n+1}(\cos^{-n+1}x)\right\}'dx\\&=\dfrac{1}{n-1}(\sin^{m-1}x)(\cos^{-n+1}x)-\dfrac{1}{n-1}\int(m-1)(\sin^{m-2}x\cos x)(\cos^{-n+1}x)dx\\&=\dfrac{\sin^{m-1}x}{(n-1)\cos^{n-1}x}-\dfrac{m-1}{n-1}\int(\sin^{m-2}x)(\cos^{-n+2}x)dx\\&=\dfrac{\sin^{m-1}x}{(n-1)\cos^{n-1}x}-\dfrac{m-1}{n-1}\int\dfrac{\sin^{m-2}x}{\cos^{n-2}x}dx\\\end{align*}


よって

∫sin⁡4xcos⁡2xdx=sin⁡3xcos⁡x−3∫sin⁡2xdx=sin⁡3xcos⁡x−3∫1+cos⁡2x2dx=sin⁡3xcos⁡x−32x−3cos⁡2x4+C (C:積分定数)\begin{align*}\int\dfrac{\sin^4x}{\cos^2x}dx&=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}-3\int\sin^2xdx\\&=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}-3\int\dfrac{1+\cos2x}{2}dx\\&=\dfrac{\sin^3x}{\cos x}-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3\cos2x}{4}+C\ (C:\text{積分定数})\end{align*}



補足

訂正

答：3cos⁡2x4 ⇒ 3sin⁡2x4\dfrac{3\cos2x}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{3\sin2x}{4}

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  • Arsenic
    お礼

    ありがとうございます大変助かりました

    式変形が丁寧で都てもわかりやすかったです。

    ありがとうございます。

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