積分の質問です。

今回のご質問には是非私に答えさせてくさだい(笑)。プロフィールにある通り積分はオールマイティーと自負しているのでーーーということで全部お答えします。

(1)　合成関数がひどいので、まず　$\tan(x^2)=t$と置いて、$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{2x}{\cos ^2 x^2}$

更に、$2x(1+t^2)$と変えられますね。ここから式の改変を行い、

$$G= \int {\dfrac{t^3}{2(1+t^2)}} dt 　(ここは自分で導出してみてください)$$

あっと言う間にただの分数関数となり、簡単です

$$(さっきの続き)G=\int ({\dfrac{1}{2} {t-\dfrac{t}{1+t^2}}}) dt$$

よって、右の項は微分の前後関係があるので　$\log$ でやりましょう

$$G=\dfrac{1}{4}(t^2-\log|{1+t^2}|)$$

$$∴G=\dfrac{1}{4}({\tan^2 x^2+2\log\cos x^2})$$

(2)長くなりそうなので別で書きます

(3) これは置換しないで解いてみます。

$$I=\int \dfrac{\tan' x}{\cos x}と変形できますから部分積分法で$$

$$\dfrac{\tan x}{\cos x} -\int \dfrac{\tan x}{\cos' x}dx$$

さらに$$\int \dfrac{\tan x}{\cos' x}dx=\int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^3 x}dx=\int \dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^3 x}dx=I-\int\dfrac{1}{\cos x}dx$$

従って、

$$2I=\dfrac{\tan x}{\cos x}+\int\dfrac{1}{\cos x}dxー①$$

続いて、$\dfrac{1}{\cos x}$ですが、

$$\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\int \dfrac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx$$

よって、部分分数より

$$\int \dfrac{1}{2}(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\dfrac{\cos x}{1-\sin x})dx$$

従って、$\log$ が使えそうなので

$$\dfrac{1}{2}( {\log|1+\sin x|-\log|1-\sin x|})+C$$

ですから

$$\int \dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{2} \log{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$$

①より、

$$I=\dfrac{1}{4}{(\dfrac{2\tan x}{\cos x}+\log{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}})$$

となるでしょう