過去に何かの形で作ってみた問題なのですが、もし暇な人がいれば解いてみてほしいです。問題の面白さや、難易度感（例えば、これ

Question

過去に何かの形で作ってみた問題なのですが、もし暇な人がいれば解いてみてほしいです。問題の面白さや、難易度感（例えば、これを入試で出してもよいか、出るとしたらどのレベルかなど）もコメント頂けると嬉しいです。数Ⅲの問題です。また、希望して頂ければ採点もします。

$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。

問1　長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)

ここで、以下の様に$r,	heta$を導入する。
$$\begin{equation*}
  r=\sqrt{x^2+y^2},\ 	an	heta = \frac{y}{x}
\end{equation*}$$
また、$q$を以下の様に定義する。
$$\begin{equation*}
  q = \frac{c}{a}
\end{equation*}$$
このとき、(1)の楕円において次が成り立つ。
$$\begin{equation}
  r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos	heta} 
\end{equation}$$

問2　(1)式を示せ。(15点)

問3　(1)の楕円を原点周りに45°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)

補足: 批判も歓迎します。

sHlcNRe46 · Accepted Answer

問1,2省略

問3
図形 $C$ は、$(2)$ 式において $	heta$ を $	heta+\dfrac{\pi}{4}$ とした極方程式で表される。つまり、
$$r(	heta)=\dfrac{a(1-q^2)}{1+q\cos(	heta+\frac{\pi}{4})}$$である。

$C$ と $x$ 軸の共有点は $	heta=0,\pi$ のときであり、このとき
$$r(0)=\dfrac{a(1-q^2)}{1+\frac{1}{\sqrt2}q}\quad,\quad r(\pi)=\dfrac{a(1-q^2)}{1-\frac{1}{\sqrt2}q}$$となる。

これら $2$ つの共有点は原点に対して対称なので、
$$\begin{aligned}
L(q)&=r(0)+r(\pi) \ &=\dfrac{4a(1-q^2)}{2-q^2}
\end{aligned}$$が得られる。

ここで、$0\leqq\dfrac{c}{a}< 1\iff 0\leqq q<1$ であり、$t=1-q^2$ とおくと $0<t\leqq 1$ である。

したがって
$$L(q)=\dfrac{4at}{1+t}=\dfrac{4a}{1+\frac{1}{t}}$$
となり、$L(q)$ は $t=1\iff q=0 \iff c=0$ のときに最大値 $2a$ をとる。

このとき図形 $C$ は中心が原点、半径が $a$ の円となる。

同値変形の計算力が求められることと、極方程式で $	heta=0$ だけでなく $	heta=\pi$ の場合も考えることの $2$ 点がよい問題だと思いました。
このような問題では対称的な図形になる場合が最大であることが予想されますが、最後に最大値が式変形なしですぐわかってしまうので、それをよしとするかどうかに議論の余地があると思います。
個人的には、微分や何らかの式変形で最大値を出してほしいと思いますが、難易度から考えてもこの程度で良いかなと思います。
また、$(2)$ 式は、離心率とその他適切なヒントを与えて、自力で式を導かせてもよいと思います。

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