なんとなく聞いてみたくなったのですが、暇な方は以下の問題を解いてみてほしいです。特に、高校生の方で数Ⅲをやっている方がいたら解いてみてほしいです。（多分、大学生以上で数学をやっている方は結構知ってらっしゃるかもしれません。）

(1)$f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ $f''(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=f(x)$

したがって$f''(x)=f(x)$が示された。

また、$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}=\{f(x)-g(x)\}\{f(x)+g(x)\}なので、$

$$(与式)＝(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}-\dfrac{e^x+e^{-x}}{2})(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}+\dfrac{e^x+e^{-x}}{2})=e^xe^{-x}=1$$

したがって等式は示された。

(2)$x=g(t)と置換し、ここで左の式をtについて解き$

$$x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}これを変形し、(e^t)^2-2xe^t-1=0となり$$

$e^tに関する二次方程式とみて解を出すと、e^t>0より、e^t=x+\sqrt{x^2+1}$

$両辺に自然対数を取り、t=\log({x+\sqrt{x^2+1}})$

また、$g'(x)=f(x)より、\dfrac{dx}{dt}=g'(t)=f(t)$

したがって与式は以下のように変換され、

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & → & 1 \\ \hline t & 0 & → & \log{(\sqrt2+1)} \end{array}$$

$$(与式)=\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \ dx=\int_{0}^{\log(\sqrt2+1)} \dfrac{f(t)}{\sqrt{\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2+\{g(x)\}^2}} \ dt$$

$$さらにf(t)>0より、\int_{0}^{\log(\sqrt2+1)} \ dt=\left[ t\right]^{\log(\sqrt2+1)}_{0}$$

ゆえに、求める値は$\log(\sqrt2+1)$

結構見づらくなってすみません

この解き方はどうでしょうか