数学の質問です。教科書に「関数が常に増加または常に減少する区間では、増減が入れかわることはないから、関数は極値をもたな

Question

数学の質問です。

教科書に「関数が常に増加または常に減少する区間では、増減が入れかわることはないから、関数は極値をもたない。たとえば、1次関数や関数 $f(x)=x^3$ 、 $f(x)=-x^3-x$ などは極値をもたない。」とあったのですが、自分は関数が増加から減少に、または減少から増加に切り替わるところを極大、極小と捉えているため、関数 $f(x)=x^3$ が極値を持たないことは理解できるのですが、「関数が常に増加または常に減少する区間では、増減が入れかわることはないから、関数は極値をもたない。」と言う理論から関数 $f(x)=x^3$ に就いて、極値を持たないと言うのはおかしいきがします。関数 $f(x)=x^3$ は常に増加して居るのでしょうか？確かに増減自体は入れ替わって居ませんが、 $(0,0)$ では接線の傾きが0になっているので常に増加して居ると言うのはおかしいきがします。教科書の記述は適切でしょうか？

回答宜しく願います。

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

増加の定義は、$x_1<x_2$ ならば $f(x_1)<f(x_2)$ となることです。 つまり、$f(x)=x^3$ において、この定義からつねに増加していることが言えます。  $x=0$ の $1$ 点でのみ接線の傾きが $0$ になることも正しいですが、増加の定義はそもそも $1$ 点のみでの振る舞いを考えていません。異なる $2$ 点での振る舞いを考えています。