以下の問題を微分禁止で解いてみてください

解答

$$\frac{x+1}{x^2+4x+5}$$

において、$x+1=t\$と変換したものを関数$\ f(t)$とする。即ち、

$$\begin{equation}f(t)=\frac{t}{t^2+2t+2}\end{equation}$$

とする。この関数の値域を調べることと元の式の値の範囲を調べることは等価なので、以下ではこの関数の値域を調べる。

$\underline{t=0の場合}$

(1)式より$f(0)=0\$と分かる。

$\underline{t\neq 0の場合}$

(1)式を変形して

$$\begin{equation}f(t)=\frac{1}{t+2\frac{1}{t}+2}\end{equation}$$

と出来る。

$\underline{t>0の場合}$

相加相乗平均の関係より

$$t+\frac{2}{t}+2\geq 2(\sqrt{2}+1)$$

と分かる。なお、等号成立条件は$t=\sqrt{2}$。

また、$f(t)$の分子も分母も正であり、$t\rightarrow 0$で$f(t)\rightarrow 0$なので

$$\begin{equation}0<f(t)\leq \frac{1}{2(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\end{equation}$$

となる。

$\underline{t<0の場合}$

$t=-|t|$として、$|t|$に関して相加相乗平均の関係を用いてあげれば、$t>0$の場合と同様の手順で

$$\begin{equation}-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\leq f(t)<0\end{equation}$$

が分かる。（符号に注意。）

なお、等号成立は$t=-\sqrt{2}$。

これまでの議論をまとめることで、

$$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}\leq f(t) \leq \frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

を得る。

（解答終）

$\underline{コメント}$

かなり長くなってしまいましたが、（計算ミスが無い限り）あっていると思います。よくある解答な気がしますが、参考程度に。（多分、Rararaさんの回答の方が豊かな発想だと思います。）