解決済み

この問題の解き方を教えて頂きたいです。

数列の授業を殆ど受けておらず、基本的なこともわかりません。

どなたかどうかよろしくお願いします。

ベストアンサー

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基本的なことからわからないということなので、隣接 22 項間の漸化式から一般項を求める方法を原理から説明するので、以下長くなります。


まず、初項 a1=1a_1=1 を無視して漸化式 2an+1=an+2(1)2a_{n+1}=a_n+2 \quad \cdots (1) のみを考えます。

ここで、この漸化式を満たす数列が何か 11 つ見つかったとします。この数列を {cn}\{c_n\} とおくと、2cn+1=cn+2(2)2c_{n+1}=c_n+2 \quad \cdots (2) を満たします。

この数列は、漸化式さえ満たしていればどんな数列でも結構です。無限個存在します。詳細は後で述べます。


ここで、これら (1),(2)(1),(2) の差をとると、

2(an+1cn+1)=ancn    an+1cn+1=12(ancn)2(a_{n+1}-c_{n+1})=a_n-c_n \\ \iff a_{n+1}-c_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n-c_n)


ancn=bna_n-c_n=b_n とおくと、bn+1=12bnb_{n+1}=\dfrac{1}{2}b_nとなります。これは単純な等比数列ですね。公比は 12\dfrac{1}{2} なので、初項さえ分かれば数列 {bn}\{b_n\} の一般項は求められそうです。


ここで、数列 {cn}\{c_n\} について考えてみましょう。この数列は漸化式さえ満たしていれば何でもよいのでしたね。では 2cn+1=cn+22c_{n+1}=c_n+2 を満たすもののうち、最も簡単なものは何でしょうか。

それは定数数列ですね(おそらく)。つまり、ずっと同じ値をとり続ける数列のことです。その値を α\alpha とすると、2α=α+2    α=22\alpha=\alpha+2 \iff \alpha=2 となります。


このとき、c1=2c_1=2 であり、b1=a1c1=1b_1=a_1-c_1=-1 です。

こうして bn=(12)n1b_n=-\biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)^{n-1} が求められ、

an=bn+cn=2(12)n1\begin{aligned}a_n&=b_n+c_n \\ &=2-\biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)^{n-1}\end{aligned}

が得られます。


では、{cn}\{c_n\} などという数列をいちいち考えなくても、はじめから α\alpha を考えるのはどうでしょうか。そちらの方がはやそうですよね。

ということで、数列の漸化式 an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q を解くアルゴリズムを以下にまとめて終了とします。



①漸化式 an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q を満たす特殊解 α\alpha を求める。

 → α=pα+q\alpha=p\alpha+q

この①は解答に書く必要はありません。


②漸化式 an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+qan+1α=p(anα)a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha) に変形

 →このとき、もとの漸化式に戻るか検証すること。


③数列 {anα}\{a_n-\alpha\} は等比数列なので、その一般項を求める。bn=anαb_n=a_n-\alpha とおいてもよいが、おかなくても解けるくらいの計算力を身に付けたい。


ana_n を求める。



あとは演習問題をたくさん解いて、完璧に理解していきましょう。

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