問1(2)の問題で解説の途中式を自分でといてみたのですがうまく行きません。部分積分を利用したことわ分かるのですが、、、

解答の方法では

$$\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)^\prime=\frac{1}{x^2}\ e^{-\frac{1}{x}}$$

を常識として部分積分を実行しています。これはこれで正しい方法ですが、この式が果たして常識なのかと言われると微妙です。

別の方法として考えられるのは

$$\frac{1}{x}=t$$

と置換してしまうことです。こうすると、

$$-\frac{1}{x^2}dx=dt \Leftrightarrow -t^2dx=dt\Leftrightarrow dx=-\frac{1}{t^2}dt$$

と変換できるので、

$$\int \frac{1}{x^3}\ e^{-\frac{1}{x}}dx=-\int t\ e^{-t}dt$$

となります。後は普通の部分積分で計算できますね。