途中計算でいきなり∫(0→⫪ぱい)costdtが出てきてよくわかりません。

　定積分に対する部分積分の公式で

$$\int_0^\pi t \sin t dt = \begin{bmatrix}t (-\cos t)\end{bmatrix}_0^\pi + \int_0^\pi \cos t dt$$

と変形しています。

$$\int (多項式) \sin x dx,\quad \int (多項式) \cos x dx,\quad \int (多項式) e^x dx$$

の形の積分では、部分積分するのが定石 (*) ということを意識していると、解説者の意図が読み取りやすいかも知れません。

*) その理由はたとえば https://manabitimes.jp/math/1548 の「微分して簡単になる関数に注目」の項以下に書いてあります。