下の問題複素数の方程式について与えられた方程式と同値な、具体的なzの値を求めるのが方程式を解くということですが、こ

Question

下の問題　複素数の方程式について

与えられた方程式と同値な、具体的なzの値を求めるのが方程式を解くということですが、

この問題で「両辺の絶対値と偏角を比較して」の前後は

$cos4θ=cos\dfrac{2}{3}π$ かつ $sin4θ=sin\dfrac{2}{3}π$ ①

　　　　　　　　⇔

$4θ=\dfrac{2}{3}π$

$x = \dfrac{2}{3}π+2nπ$ ②

という同値変形ということでしょうか(?_?)

もしそうなら、 ${0}\leqq{θ}\leqq{4π}$ だから、nは整数ではなく、 $n=0,1,2,3$ と明治しなくては同値にはならないですよね(?_?)

また、 $＋2nπ$ とするのは①⇒②が偽になるからですか(?_?)

補足

②の条件は

4θ=2/3π＋2nπ

（n=0,1,2,3）

@hinanase · Accepted Answer

まず，

$\cos 4 \theta = \cos \dfrac{2}{3} \pi \land \sin 4 \theta = \sin \dfrac{2}{3} \pi$

であること( $\land$ は「かつ」と読んでください)と，

$4 \theta = \dfrac{2}{3} \pi$

であることは同値ではありません．正しく同値なのは，

$4 \theta = \dfrac{2}{3} + 2n \pi$

すなわち

$\theta = \dfrac{1}{6} \pi + \dfrac{n\pi}{2}$

です． $2n\pi$ を足すタイミングに注意してください．

> $n = 0, 1, 2, 3$ と明示しなくては同値にならないですよね？

同値にはなります．ただし，これ以降の $n$ を考えたとしても，同じ $\theta$ が出てくるだけなので(たとえば $n=4$ と $n=0$ では同じ $\theta$ になるはずです)，考える必要がないということです．

> $+2n\pi$ とするのは①⇒②が偽になるからですか？

そうですね．