数学Aについてです。

　諸々の比率を求めるにはメネラウスの定理（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%8D%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）を使います。

　$\triangle ACL$ および 直線 $BM$ に対して定理を適用すれば、

$$\begin{aligned}\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BL} \cdot \frac{LP}{PA} = 1;\quad\therefore \frac{LP}{PA} = \frac{4}{3}\end{aligned}$$

一方、$\triangle ABL$ および 直線 $CN$ に対して定理を適用すれば、

$$\begin{aligned}\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BC}{CL} \cdot \frac{LR}{RA} = 1;\quad\therefore \frac{LR}{RA} = \frac{1}{6}\end{aligned}$$

これで $LP : PA, LR : RA$ は分かりました。ここで $AP : PR : RL$ を求めるために $LP = 4t, PA = 3t$ および $LR = u, RA = 6u$ とおき、

$$4t + 3t = LP + PA = LR + RA = u + 6u$$

という $t, u$ の関係式を立てます。ここから $t = u$ が分かり、したがって $AP = 3t, PR = 3t, RL = t$、すなわち $AP : PR : RL = 3 : 3 : 1$ を得ます。同時に、問題設定における $L, M, N$ の対称性から　$BQ : QP : PM = CR : RQ : QN = 3 : 3 : 1$ を得ます。

　あとは「高さが共通で、底辺の比率が $a : b$ である $2$ つの三角形の面積比は $a : b$ である」という事実をくり返し使います。

$$\begin{aligned}RP : LA = 3 : 7;\quad &\therefore \triangle{PBR} = \frac{3}{7}\triangle{ABL} \\PQ : PB = 1 : 2;\quad &\therefore \triangle{PQR} = \frac{1}{2}\triangle{PBR}\end{aligned}$$

したがって、$\triangle{PQR} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{7}$ を得ます。