$$n^2-n+4が平方数となる整数nを全て求めよ$$

簡単にするため、$a_n=n^2-n+4$ とおきます。

$n \geqq 5$ のとき、$a_n-(n-1)^2=n+3>0$ であり、$a_n-n^2=-n+4<0$ だから、$(n-1)^2<a_n<n^2$ が成り立ちます。

したがって、$a_n$ は平方数ではありません。

同様にして、$n \leqq -4$ のとき、$a_n-(n-1)^2=n+3<0$ であり、$a_n-n^2=-n+4>0$ だから、$n^2<a_n<(n-1)^2$ が成り立ちます。

したがって、$a_n$ は平方数ではありません。

あとは $-3 \leqq n \leqq 4$ の範囲の $n$ を個別に調べれば完了です。

隣り合う平方数の間に平方数が存在しないことを利用する解法はたまに出てきますね。隣り合う整数の間に整数が存在しないことも同様に使えることがあります。