数学の質問です。以下の問題を教えて頂きたいです。図もあったら載せて頂きたいです。回答宜しく願います。

(1)

$f(x)$を平方完成すると

$$f(x)=\{ x-(a+1)\}^2-(a+1)^2+3a=\{x-(a+1)\}^2-(a^2-a+1)$$

となる。よって頂点の座標は

$$(a+1,\ -a^2+a-1)$$

(2)

$f(x)$は明らかに下に凸な関数である。これを意識して$-1\leq x \leq 3$の範囲で異なる2つの実数解を持つような、すなわちこの範囲で$x$軸と交点を2つ持つようなグラフを書くことで以下の条件を満たすべきと分かる。

$$\begin{cases}f(-1)\geq 0\\f(3)\geq 0\\-a^2+a-1<0\end{cases}$$

ここで第3式について議論すると

$$-a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}<0$$

は任意の実数$a$で成立することが分かる。よって実際の条件は第1式と第2式のみ。これらの条件から

$$\begin{cases}a\geq \frac{3}{5} \\a\leq 1\end{cases}$$

これをまとめれば

$$\frac{3}{5}\leq a \leq 1$$

これが求めるべき$a$の範囲。

(3)

(1)を思い出せば、頂点の$y$座標$y(a)$は明らかに

$$y(a)=-a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}$$

横軸$a$、縦軸$y(a)$のグラフを書けば、$a=\frac{3}{5}$のときに$y(a)$が最大値を取り、$a=1$のときに最小値を取ると分かる。

したがって求めるべき範囲は

$$y\left(1\right)\leq y(a) \leq y\left(\frac{3}{5}\right)$$

よって

$$-1\leq y(a) \leq -\frac{19}{25}$$

と分かる。これが求めるべき範囲。