数学の質問です。以下の問題を教えて頂きたいです。図もあったら載せて頂きたいです。回答宜しく願います。 [1]関数$f(x

Question

数学の質問です。以下の問題を教えて頂きたいです。図もあったら載せて頂きたいです。回答宜しく願います。

[1]関数 $f(x)=x^2-2(a+1)x+3a$ 　 $(a\in\mathbb{R})$ とする。

(1)関数 $y=f(x)$ の頂点の座標を $a$ で表せ。

(2)二次方程式 $x^2-2(a+1)x+3a=0$ が、 $-1 \leqq x \leqq 3$ の範囲に $2$ つの異なる実数解を

　持つ様な $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $a$ が(2)で求めた範囲を動く時、放物線 $y=x^2-2(a+1)x+3a$ の頂点の $y$ 座標が取り得る

　値の範囲を求めよ。

補足

答えは下記の通りです。

(1) $(a+1 , -a^2+a-1)$

(2) $-\dfrac{3}{5} \leqq a \leqq 1$

(3) $-\dfrac{49}{25} \leqq y \leqq -\dfrac{3}{4}$

@atozkoxo · Accepted Answer

(1)  $f(x)$を平方完成すると $$f(x)=\{ x-(a+1)\}^2-(a+1)^2+3a=\{x-(a+1)\}^2-(a^2-a+1)$$ となる。よって頂点の座標は $$(a+1,\ -a^2+a-1)$$  (2)  $f(x)$は明らかに下に凸な関数である。これを意識して$-1\leq x \leq 3$の範囲で異なる2つの実数解を持つような、すなわちこの範囲で$x$軸と交点を2つ持つようなグラフを書くことで以下の条件を満たすべきと分かる。 $$ \begin{cases} f(-1)\geq 0\ f(3)\geq 0\ -a^2+a-1<0 \end{cases} $$ ここで第3式について議論すると $$-a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}ight)^2-\frac{3}{4}<0$$ は任意の実数$a$で成立することが分かる。よって実際の条件は第1式と第2式のみ。これらの条件から $$ \begin{cases} a\geq \frac{3}{5} \ a\leq 1 \end{cases} $$ これをまとめれば $$\frac{3}{5}\leq a \leq 1$$ これが求めるべき$a$の範囲。  (3)  (1)を思い出せば、頂点の$y$座標$y(a)$は明らかに $$y(a)=-a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}ight)^2-\frac{3}{4}$$ 横軸$a$、縦軸$y(a)$のグラフを書けば、$a=\frac{3}{5}$のときに$y(a)$が最大値を取り、$a=1$のときに最小値を取ると分かる。 したがって求めるべき範囲は $$y\left(1ight)\leq y(a) \leq y\left(\frac{3}{5}ight)$$ よって $$-1\leq y(a) \leq -\frac{19}{25}$$ と分かる。これが求めるべき範囲。 補足: もし間違い等あればすいません。計算ミスなどは大いにあり得ます。