(1)
f(x)を平方完成すると
f(x)={x−(a+1)}2−(a+1)2+3a={x−(a+1)}2−(a2−a+1)
となる。よって頂点の座標は
(a+1, −a2+a−1)
(2)
f(x)は明らかに下に凸な関数である。これを意識して−1≤x≤3の範囲で異なる2つの実数解を持つような、すなわちこの範囲でx軸と交点を2つ持つようなグラフを書くことで以下の条件を満たすべきと分かる。
⎩⎨⎧f(−1)≥0f(3)≥0−a2+a−1<0
ここで第3式について議論すると
−a2+a−1=−(a−21)2−43<0
は任意の実数aで成立することが分かる。よって実際の条件は第1式と第2式のみ。これらの条件から
{a≥53a≤1
これをまとめれば
53≤a≤1
これが求めるべきaの範囲。
(3)
(1)を思い出せば、頂点のy座標y(a)は明らかに
y(a)=−a2+a−1=−(a−21)2−43
横軸a、縦軸y(a)のグラフを書けば、a=53のときにy(a)が最大値を取り、a=1のときに最小値を取ると分かる。
したがって求めるべき範囲は
y(1)≤y(a)≤y(53)
よって
−1≤y(a)≤−2519
と分かる。これが求めるべき範囲。