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数学の質問です。以下の問題を教えて頂きたいです。図もあったら載せて頂きたいです。回答宜しく願います。


[1]関数f(x)=x22(a+1)x+3af(x)=x^2-2(a+1)x+3a (aR)(a\in\mathbb{R})とする。

(1)関数y=f(x)y=f(x)の頂点の座標をaaで表せ。

(2)二次方程式x22(a+1)x+3a=0x^2-2(a+1)x+3a=0が、1x3-1 \leqq x \leqq 3の範囲に22つの異なる実数解を

 持つ様なaaの値の範囲を求めよ。

(3)aaが(2)で求めた範囲を動く時、放物線y=x22(a+1)x+3ay=x^2-2(a+1)x+3aの頂点のyy座標が取り得る

 値の範囲を求めよ。


補足

答えは下記の通りです。

(1)(a+1,a2+a1)(a+1 , -a^2+a-1)

(2)35a1-\dfrac{3}{5} \leqq a \leqq 1

(3)4925y34-\dfrac{49}{25} \leqq y \leqq -\dfrac{3}{4}

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(1)


f(x)f(x)を平方完成すると

f(x)={x(a+1)}2(a+1)2+3a={x(a+1)}2(a2a+1)f(x)=\{ x-(a+1)\}^2-(a+1)^2+3a=\{x-(a+1)\}^2-(a^2-a+1)

となる。よって頂点の座標は

(a+1, a2+a1)(a+1,\ -a^2+a-1)


(2)


f(x)f(x)は明らかに下に凸な関数である。これを意識して1x3-1\leq x \leq 3の範囲で異なる2つの実数解を持つような、すなわちこの範囲でxx軸と交点を2つ持つようなグラフを書くことで以下の条件を満たすべきと分かる。

{f(1)0f(3)0a2+a1<0\begin{cases}f(-1)\geq 0\\f(3)\geq 0\\-a^2+a-1<0\end{cases}

ここで第3式について議論すると

a2+a1=(a12)234<0-a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}<0

は任意の実数aaで成立することが分かる。よって実際の条件は第1式と第2式のみ。これらの条件から

{a35a1\begin{cases}a\geq \frac{3}{5} \\a\leq 1\end{cases}

これをまとめれば

35a1\frac{3}{5}\leq a \leq 1

これが求めるべきaaの範囲。


(3)


(1)を思い出せば、頂点のyy座標y(a)y(a)は明らかに

y(a)=a2+a1=(a12)234y(a)=-a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}

横軸aa、縦軸y(a)y(a)のグラフを書けば、a=35a=\frac{3}{5}のときにy(a)y(a)が最大値を取り、a=1a=1のときに最小値を取ると分かる。

したがって求めるべき範囲は

y(1)y(a)y(35)y\left(1\right)\leq y(a) \leq y\left(\frac{3}{5}\right)

よって

1y(a)1925-1\leq y(a) \leq -\frac{19}{25}

と分かる。これが求めるべき範囲。

補足

もし間違い等あればすいません。計算ミスなどは大いにあり得ます。

返信(2件)

回答ありがとうございます。答えが間違って居るところがありましたが、考え方が良く分かりました!!!

途中から大分変なことしてましたね。申し訳ない。

理解できたのならよかったです。

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