数学II [軌跡]

xy平面の原点をOとする。xy平面上のOと異なる点Pに対し、直線OP上の点Qを、次の条件(A)、（B) を満たすようにとる。

(A) OP•OQ=4

(B) Qは，Oに関してPと同じ側にある。

点Pが直線x=1上を動くとき、点Qの軌跡を求めて，図示せよ。

解説には次のように書いてありました。

P(X,Y)、Q(x,y)とすると

「点Qが半直線OP上にある⇔X=tx,Y=tyとなる実数tが存在する」

「」でくくった部分がよく分からないです。

なぜ、XもYも同じtを使って表せるのでしょうか？

回答していただけると幸いです。

回答 1件

ベストアンサー

$3$ 点 $\mathrm{O,P,Q}$ が同一直線上にあるからです。

点 $\mathrm{Q}(x,y)$ に対して $a=\dfrac{y}{x}$ とすれば、 $2$ 点 $\mathrm{P,Q}$ はいずれも直線 $y=ax$ 上に存在します。

$\dfrac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OQ}}=t$ とすれば、点 $\mathrm{P}$ の座標は $(tx,ty)$ となります。

Berry_0205 2023/2/5

O,P,Qが同一直線上にあるのは分かったのですが、 ${OP\over OQ}=t$ としてからどのように変形をしたら点Pの座標が出てくるのでしょうか…？

お手数をお掛けしますが返信していただけると幸いです🙇🙇
sHlcNRe46 2023/2/6

$3$ 点 $\mathrm{O,P,Q}$ が同一直線上にあり、 $\mathrm{OP}$ の長さが $\mathrm{OQ}$ の長さの $t$ 倍になるので、 $x$ 座標も $y$ 座標も $t$ 倍すれば出ます。
Berry_0205 2023/2/6

お礼

ありがとうございました！！
助かりました🙇