高校生です。予備校の授業で論理記号を用いて教えてもらったのですが、存在条件を考える上で疑問があります。問題 (x,y)

Question

高校生です。予備校の授業で論理記号を用いて教えてもらったのですが、存在条件を考える上で疑問があります。

問題

(x,y)が単位円内を動くとき、X=x+y,Y=xyで表される点(X,Y)の存在範囲を求めよ。

解答

Rを(X,Y)の存在範囲とすると、

(X,Y)∈R⇔∃x∃y(x^2+y^2<1∧X=x+y∧Y=xy)

⇔X^2-2Y<1∧∃x∃y(X=x+y∧Y=xy)

ここで、

(x^2+y^2<1∧X=x+y∧Y=xy)

⇔［｛(x+y)^2｝−2xy<1∧X=x+y∧Y=xy］

⇔( X^2-2Y<1 ∧X=x+y∧Y=xy)

なのはわかるのですが、

X^2-2Y<1の部分が量化子の前に出せるのはなぜなのですか？x,yが含まれていないとなぜ前に出せるのか教えてください。x,yの存在条件に関係ないからといわれてもよくわかりません。

Accepted Answer

いま次のような形の論理式があるとします。 $$ \exists x\ (Q \land R(x)) $$ ここで $R(x)$ は変数 $x$ を含む論理式、$Q$ は $x$ を含まない論理式とします。$Q$ は $x$ を含まないので、$x$ の値に関わらず真偽が決まります。そこでもし $x$ の値に関わらず恒等的に真だとすれば、 $$ \begin{aligned} \exists x\ (Q \land R(x))  &\Longleftrightarrow \exists x\ (	op \land R(x)) \  &\Longleftrightarrow \exists x\ R(x) \  &\Longleftrightarrow 	op \land \exists x\ R(x) \  &\Longleftrightarrow Q \land \exists x\ R(x) \end{aligned} $$ となり、結局 $Q$ が $\exists x\ (\ )$ の中にあろうと外にあろうと同じことです。一方、恒等的に偽だとすれば、 $$ \begin{aligned} \exists x\ (Q \land R(x))  &\Longleftrightarrow \exists x\ (\bot \land R(x)) \  &\Longleftrightarrow \bot \  &\Longleftrightarrow \bot \land \exists x\ R(x) \  &\Longleftrightarrow Q \land \exists x\ R(x) \end{aligned} $$ となり、これもまた $Q$ が中にあろうと外にあろうと同じことです。よって、$Q$ が真と偽といずれの値をとるにしても、$Q$ は存在量化子の前へ出してよいことになります。これは存在量化子だけでなく全称量化子でも同じです。 　さて、いま問題としていることについて言えば、論理式 $X^2 - 2Y < 1$ は変数 $x, y$ を含まない論理式です。それなので、 $$ \exists x \exists y\ (X^2 - 2Y < 1 \land X = x + y \land Y = xy) \ \Longleftrightarrow  X^2 - 2Y < 1 \land \exists x \exists y\ (X = x + y \land Y = xy) \ $$ と量化子の前へ出してよいことになります。 （一応理由づけしてみるならこういうことですが、「変数に依存しない論理式なんて何処にあっても同じに決まってる！」と直感で変形してしまってよいと思います。）

@MusicAgo · Answer

これは式変形をしているというよりも、論理の展開をしています。 既にある$X,Y$に対して条件を満たす$x,y$は存在しているということが書いてあると思ってください。 $$X^2-2Y<1\cap\exists x \exists y(X=x+y,Y=xy)$$ は$X^2-2Y<1$であるX,Yに対して$X=x+y,Y=xy$を満たす$x,y$が存在するといっています。 先に$x,y$がないとおかしいように感じるかも知れませんが、あくまで$X,Y$に対して$x,y$を定義しているので、$X,Y$だけの式であれば存在記号の前で問題ありません。 （と書いてしまっているのは本当なのか心配になるぐらい証明の理解の仕方が間違っている気がします。）