解決済み

(2)で、高さの比で解いたのですが、どうやって解答欄を書けば良いかがわかりません。

僕が解いたやり方としては、高さADの中身を3:1に内分して、OからABCの高さの5分の6がOPになっていることを利用して(1)の答えを6分の5倍すると言う事です。

どなたかよろしくお願いします。

ベストアンサー

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「高さの比」の時点で意味が分からないのですが。


あと、「(1)の答えを6分の5倍する」だとORundefined\overrightarrow{OR}にはならないと思います。


一応解答付けときます。

(1)与えられた条件より

OPundefined=13+1ODundefined+33+1OEundefined=13+111+2OAundefined+33+1(21+2OBundefined+11+2OCundefined)=112OAundefined+12OBundefined+14OCundefined\begin{align*}\overrightarrow{OP}&=\dfrac{1}{3+1}\overrightarrow{OD}+\dfrac{3}{3+1}\overrightarrow{OE}\\&=\dfrac{1}{3+1}\cdot\dfrac{1}{1+2}\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{3+1}\cdot\left(\dfrac{2}{1+2}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{1+2}\overrightarrow{OC}\right)\\&=\dfrac{1}{12}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OC}\end{align*}


(2)ORundefined\overrightarrow{OR}は定数k>0k\gt0を用いてORundefined=kOPundefined\overrightarrow{OR}=k\overrightarrow{OP}と表せるので

ORundefined=kOPundefined=k12OAundefined+k2OBundefined+k4OCundefined\begin{align*}\overrightarrow{OR}&=k\overrightarrow{OP}\\&=\dfrac{k}{12}\overrightarrow{OA}+\dfrac{k}{2}\overrightarrow{OB}+\dfrac{k}{4}\overrightarrow{OC}\end{align*}


また、平面ABCABC上の任意の点QQについて

OQundefined=sOAundefined+tOBundefined+uOCundefined , s+t+u=1\overrightarrow{OQ}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\ ,\ s+t+u=1

であるから、これをORundefined\overrightarrow{OR}について考えれば

k12+k2+k4=1k=65\begin{align*}\dfrac{k}{12}+\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{4}&=1\\k&=\dfrac{6}{5}\end{align*}

となる。よって、

ORundefined=kOPundefined=11265OAundefined+1265OBundefined+1465OCundefined=110OAundefined+35OBundefined+310OCundefined\begin{align*}\overrightarrow{OR}&=k\overrightarrow{OP}\\&=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{6}{5}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{6}{5}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{6}{5}\overrightarrow{OC}\\&=\dfrac{1}{10}\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{OB}+\dfrac{3}{10}\overrightarrow{OC}\end{align*}

補足

「(1)の答えを6分の5倍する」だとORundefined\overrightarrow{OR}にはならないと思います。

→条件から点PPの位置は四面体OABCOABCの内部にあるので、OPundefined\overrightarrow{OP}を1より小さい定数倍しても点RRは平面ABCABCには来ません。


返信(6件)

5分の6倍でした、すみません、要は、kとおかなくても1:2の2の部分の中に3:1があると考えて、高さをoからABCに向けて2:3:1とするとすぐにベクトルOPの5分の6倍が出てくると言うことを言いたかったのです。

ありがとうございます😭


なるほど、そういう意味で「高さの比」なのですね。理解しました。

その場合は表現が難しいですね。点OOを通り、平面ABCABCに垂直な軸を考えてやればいいのでしょうか。

平面との距離ではダメですかね?


O,D,PO,D,Pと平面ABCABCとの距離をそれぞれd(O),d(D),d(P)d(O),d(D),d(P)とすれば条件より

d(O):d(D):d(P)=1:23:2314=6:4:1\begin{align*}d(O):d(D):d(P)&=1:\dfrac{2}{3}:\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\\&=6:4:1\end{align*}

であるから、

ORundefined=661OPundefined=65OPundefined\begin{align*}\overrightarrow{OR}&=\dfrac{6}{6-1}\overrightarrow{OP}\\&=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{OP}\end{align*}

でしょうかね。

ありがとうございます😊

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