(1)はどうしてこの解法じゃだめなんですか？

タイトルにも書いてありますが、これは「万有引力による位置エネルギー」の問題なので、

$$\frac{1}{2}mv_0^2=mgh$$

は成り立ちません。$g$はあくまで地上における重力加速度の値であり、

$h$の値によって重力加速度が変化してしまいます。

なので、下記のように自分で、質量や、万有引力定数を置いて、万有引力を用いた力学的エネルギー保存則を立てる必要があります。

$$\underline{\hspace{10cm}}\\[10pt]重力=万有引力より、地球の質量をM、\\物体の質量をm、万有引力定数をGとすると、\\[10pt]mg=G\frac{Mm}{R^2}となります。…①\\これを用いて、力学的エネルギー保存則を立てると、\\「\frac{1}{2}mv^2+\left(-G\frac{Mm}{R}\right)=一定」より、\\\frac{1}{2}mv_0^2+\left(-G\frac{Mm}{R}\right)=0+\left(-G\frac{Mm}{R+h}\right)\\[10pt]よって、v_0=\sqrt{\frac{2GMh}{(R+h)R}}…②\\[10pt]①より、GM=gR^2。これを②に代入して、\\[10pt]v_0=\sqrt{2\frac{gRh}{R+h}}\\[10pt]\underline{\hspace{10cm}}$$

ではないでしょうか。

間違ってたらすみません…