cosの方の途中式を教えてください。

加法定理を用いて二倍角の公式

$$\begin{aligned} \cos2 x&= \cos^2x - \sin^2x \\ &= 2 \cos^2x - 1\end{aligned}$$

が導き出せます。これを代入してください

$$\cos 4x = \cos(2x+2x) = 2\cos^2 2x - 1$$

倍角を使って変形しています。

$$2\cos^2 2x - 1 = 2(2 \cos^2 x - 1)^2$$

$\cos 2x$ に対して倍角の公式を適用しました。

$$2(2 \cos^2 x - 1)^2 = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1$$

展開しました。

ここがわかりづらければ $\cos x$ を $X$ とでもおいて計算してみましょう。