3)の問題で、解説のところで、Pを通る平面がBHで垂直であるには点QがFG上にあるならばFQ=AP

長文となるため簡略化させていただきます、、！

(i)$Q$が$FG$上にあるとき

$AP'+FQ'=6$となるように点$P$、$Q$をそれぞれ直線$AD$、$FG$上で平行移動させた点$P'$、$Q'$を考える。

このとき、線分$P'Q'$と$BH$は$BH$の中点で交わる。

ここで直線$P'Q'$と$BH$が直交するとき、直線BHとPQは垂直であるといえる。

四角形$P'BQ'H$が菱形となるとき、四角形の対角線である直線$P'Q'$と$BH$が直交する。

$BP=BQ$であるためには($BF=BA$かつ$\angle BFQ=\angle BAP$であるため)$AP=FQ$でなければならない。

(ii)$Q$が$GC$上にあるとき

$PQ$を$GH$方向（奥）に6cm、$DH$方向（下）に$GQ$cm平行移動させ、移動させた後の点$P$、$Q$をそれぞれ点$P'$、$Q'$とすると、

$BQ'=6\sqrt{3}$

$P'Q'=\sqrt{(6-GQ)^2+6^2+DP^2}$

$BP'=\sqrt{(6-DP)^2+12^2+GQ^2}$

であり、このときピタゴラスの定理に当てはめると$PD=GQ$のとき直線$BH$と$PQ$が垂直になることがわかる。

以上です！後半からとても雑になってしまい申し訳ありません！