x^n-1＋x^n-2＋……＋x+1をx－1で割った余りは アとなるから、x^n－1を（x－1）^2で割った余りはイである。という問題のイで、x^n-1=(x-1)(x^n-1＋x^n-2＋……＋x+1)と因数分解でき、x-1はひとつ約分できてイの答えはx^n-1＋x^n-2＋……＋x+1をx-1で割った答えnに等しいと考えたのですが、どこが間違っているのかよろしければ教えて頂けないでしょうか。正しい答えはnx-nです。

$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1$ を $x-1$ で割ったときの商を $f(x)$ とおくと、

$$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1=(x-1)f(x)+n$$

となります。その両辺に $(x-1)$ をかけて、

$$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1)=(x-1)^2f(x)+n(x-1) \\\iff x^n-1=(x-1)^2f(x)+n(x-1)$$

となって、求める余りは $n(x-1)$ とわかります。

両辺を $(x-1)$ で割るときは、当然余りも $(x-1)$ で割るということです。

整式の割り算は、商と余りを含めて等式で表せるようにしておきましょう。