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x^n-1+x^n-2+……+x+1をx-1で割った余りは アとなるから、x^n-1を(x-1)^2で割った余りはイである。という問題のイで、x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+……+x+1)と因数分解でき、x-1はひとつ約分できてイの答えはx^n-1+x^n-2+……+x+1をx-1で割った答えnに等しいと考えたのですが、どこが間違っているのかよろしければ教えて頂けないでしょうか。正しい答えはnx-nです。

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xn1+xn2+x+1x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1x1x-1 で割ったときの商を f(x)f(x) とおくと、

xn1+xn2+x+1=(x1)f(x)+nx^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1=(x-1)f(x)+n

となります。その両辺に (x1)(x-1) をかけて、

(x1)(xn1+xn2+x+1)=(x1)2f(x)+n(x1)    xn1=(x1)2f(x)+n(x1)(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots x+1)=(x-1)^2f(x)+n(x-1) \\\iff x^n-1=(x-1)^2f(x)+n(x-1)

となって、求める余りは n(x1)n(x-1) とわかります。


両辺を (x1)(x-1) で割るときは、当然余りも (x1)(x-1) で割るということです。

整式の割り算は、商と余りを含めて等式で表せるようにしておきましょう。

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