空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にないとし、それらとは別に点Pと$\overrightarrow{d}$を設けます。ただし$\overrightarrow{d}$は0ベクトルではありません。

$\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c} =4 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{p}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{p} =0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{d} \cdot ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )=0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{d}=0 または \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} =0 または \overrightarrow{d} \perp ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )$

よって、$\overrightarrow{d} \neq 0$かつ$\overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} \neq 0$のときは、$\overrightarrow{d} \perp ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )$が成り立ちます。

また、任意の$\overrightarrow{d} ( \neq 0)$に対して、$\overrightarrow{d} \perp ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )$が成り立つようなと$\overrightarrow{p}$は常に無限個存在します。($\overrightarrow{d}$に垂直なベクトルが無限個存在するので)