空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にないとし、それらとは別に点Pと$\overrightarrow{d}$を設

Question

空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にないとし、それらとは別に点Pと$\overrightarrow{d}$を設けます。ただし$\overrightarrow{d}$は0ベクトルではありません。 OAベクトルを$\overrightarrow{a}$、OBベクトルを$\overrightarrow{b}$、OCベクトルを$\overrightarrow{c}$、OPベクトルを$\overrightarrow{p}$とあらわし、等式 $$\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{p}$$ と $$\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}+\gamma\overrightarrow{c}=\overrightarrow{p}$$ が同時に成り立っています。ただし$\alpha, \beta, \gamma$は未知の実数です。 さて、このとき必ず$\alpha=\dfrac{1}{4}, \beta=\dfrac{1}{2}, \gamma=\dfrac{3}{4}$と言えるでしょうか。言えない場合は、どのような反例がありますか？ 補足: 点PはO, A, B, Cのいずれとも異なります。

@ontama_udon · Accepted Answer

$\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c} =4 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{p}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{p} =0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{d} \cdot ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )=0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{d}=0 または \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} =0 または \overrightarrow{d} \perp ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )$  よって、$\overrightarrow{d} 
eq 0$かつ$\overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} 
eq 0$のときは、$\overrightarrow{d} \perp ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )$が成り立ちます。  また、任意の$\overrightarrow{d} ( 
eq 0)$に対して、$\overrightarrow{d} \perp ( \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{c} -4 \overrightarrow{p} )$が成り立つようなと$\overrightarrow{p}$は常に無限個存在します。($\overrightarrow{d}$に垂直なベクトルが無限個存在するので)

空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にないとし、それらとは別に点Pと $\overrightarrow{d}$ を設けます。ただし $\overrightarrow{d}$ は0ベクトルではありません。

ベストアンサー

$\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{b} +3 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{c} =4 \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{p}$

質問者からのお礼コメント

ありがとうございます。 $\overrightarrow{d}$ と垂直だと必ずしも成り立たないのですね。

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