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この問題の(2)を高校数学の範囲内で解くことはできますか?

スターリングの公式で近似したり、積分ではさみうちしたりしようとしてもうまくいきませんでした。

(超幾何関数などを用いて計算したところ、極限値の候補は1e\frac{1}{e}になりました)

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