自分で適当に作った問題なので、解けるかどうかわからないのですが、 $$ \begin{cases} \log_2 x -

Question

自分で適当に作った問題なので、解けるかどうかわからないのですが、 $$ \begin{cases}  \log_2 x -\log_2 y =1 \  (\log_2 x)(\log_2 y)=xy  \end{cases}  $$ を解くことはできますか？  １つ目の式から$x=2y$を示すことはできそうです。 （$\log_2 \frac{x}{y} =\log_2 2$） しかし、２つ目の式をどう変形するかわかりません。

@Enigmathematics · Accepted Answer

適当に作った弊害なのか分かりませんが、自分の数学の知見からすると残念ながら答えを表すことが出来ませんね… $(※1)$ 。ひとまず、詰まってしまったところまで変形をしてみましょう。@mgizさんの言う通り一つ目から $x=2y$ はいえそうなので二つ目の式に投入

$(\log_2 2y)(\log_2 y)=2 y^2 \\(1+\log_2 y)(\log_2 y)=2 y^2$

対数が嫌なので　 $\log_2 y=Y$ としてみましょう

$(1+Y)Y=2・4^Y$

依然厄介な形なのは変わらないですが、グラフは想像できそうですね。しかし、おそらく変形はここで限界を迎えてしまいます。 $Y^2=2・4^Y$ みたいなのは解けるのですが、左辺が多項式になっていて解消できない状態となり解くことは不可能と考えられます(詳しくはご希望があれば後ほど)。結局どんな方法を使ってもこれを解くことは難しそうです