暇つぶしで高校数学の問題を作ってみました。

暇だったので解いてみました、、、

まず、問いを分かりやすい形に変えました。

$極値を取るx座標が3つ存在する⇔y'=0が異なる3つの実数解を持つ$

そして、$f(x)=y'=4x^3+3ax^2+2bx+c$について考えます。下の図のように、この三次関数の異なる2つの極値が、　

$$f(s)>0かつ、f(t)<0 (s<t)$$

を満たせばこの関数における、　$f(x)=0の相異なる実数解が3つになります$。

ここから条件式を考えます。まず、$s,tを導出、f'(x)=12x^3+6ax+2b=0を解き、$

$$s=-\dfrac{a}{4}-\dfrac{\sqrt{9a^2-24b}}{12}、t=-\dfrac{a}{4}+\dfrac{\sqrt{9a^2-24b}}{12}$$

$f(s)>0より、 4s^3+3as^2+2bs+c>0 ここで、　f'(s)=0を用いて楽にしまして、-\left(\dfrac{9a^2-24b}{18}\right)s-\dfrac{ab}{6}+c>0$

ここで、$s,t \in \mathbb{R}より、\sqrt{9a^2-24b}>0$なので、

$$s<\dfrac{\dfrac{ab}{6}+c}{\dfrac{9a^2-24b}{18}}　⇔　-\dfrac{a}{4}-\dfrac{\sqrt{9a^2-24b}}{12}<\dfrac{6c-ab}{3a^2-8b}$$

次に、f(t)>0も同様にすると、

$$-\dfrac{a}{4}+\dfrac{\sqrt{9a^2-24b}}{12}>\dfrac{6c-ab}{3a^2-8b}$$

この二つをまとめて、

$$-\dfrac{\sqrt{9a^2-24b}}{12}<\dfrac{6c-ab}{3a^2-8b}+\dfrac{1}{4}<\dfrac{\sqrt{9a^2-24b}}{12}$$

を得る。

ちょっと雑味がありますが、答えがあってるか心配になりますね…💦

解いてみた感想ですが、難易度はちょうどいいと思いますし、あまり沼るポイントもなさそうだし赤チャートとかにありそうな問題かなぁ、という感じです。でもせっかくなら$d$も活用できるような問題だったら面白いかもしれませんね。ほんとに例えばですけど、

「極値を取る座標3点から2点を選び、原点とその2点を頂点とする三角形の面積が、どの2点を選んでも等しい時の、$d$の満たすべき式を求めよ、」みたいな、グラフが上下することで状況が変わるような問題？、みたいなのを考えてみるといいかもしれないと感じました。　冗長になってすみません🙇